Proxección de Mercator

Aproxección de Mercatoré un tipo deproxección cartográficaideada porGerardus Mercatoren 1569 para elaborarmapasda superficie terrestre. Foi moi empregada dende o século XVIII para cartas náuticas porque permitía trazar as rutas derumboconstante ouloxodrómicascomo liñas rectas e ininterrompidas, a diferenza doutras proxeccións máis precisas.

É un tipo deproxección cilíndricatanxente aoecuador.Como tal, deforma as distancias entre osmeridianosen liñas paralelas, aumentando o seu largo real cada vez máis a medida que se achega aos polos.

Esta proxección tampouco respecta as formas reais entre osparalelos,amplíaa ao longo, cada vez máis a medida que se achega aos polos, distorsionando as áreas próximas aos polos aínda máis, notándose a diferenza coaproxección cilíndrica equidistante,que si respecta distancias entre paralelos e ten só as deformacións meridionais da proxección.

Matemática

Relación entre a posición vertical no mapa (horizontal no gráfico) e latitude (vertical no gráfico)

As seguintes ecuacións determinan as coordenadas (x,y) dun punto no mapa en proxección Mercator a partir da súalatitudeφ elonxitudeλ (sendo λ₀a lonxitude central do mapa):

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln {\left[\tan {\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}\right]}\\&={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+\mathrm {sen} \,\phi }{1-\mathrm {sen} \,\phi }}\right)}\\&=\mathrm {senh} ^{-1}{(\tan {\phi })}\\&=\tanh ^{-1}{(\mathrm {sen} \,\phi )}\\&=\ln {(\tan {\phi }+\sec {\phi })}\end{aligned}}$

Esta é a inversa dafunción de Gudermann:

${\begin{aligned}\phi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}\\\end{aligned}}$

A escala é proporcional á secante da latitude φ, facéndose extremadamente grande preto dos polos. No propio polo φ = 90° o –90°. Como se deduce das fórmulas, o valor paraynos polos é +/– infinito.

Derivación da proxección

Asumindo que a Tierra ten formaesférica(en realidade parecése máis a unelipsoidelevemente aplanado nos polos e con outras leves deformacións, mais para mapas de pequena escala a diferenza é irrelevante), procúrase transformar o sistema lonxitude-latitude (λ,φ) no sistemacartesiano(x,y) que é "un cilindro tanxente ao ecuador" (por exemplo,x=λ) econforme,tal que:

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\phi ){\frac {\partial x}{\partial \phi }}$

Dex= λ tense:

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \phi }}=0$

resultando

$1=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

Dado queyé función só deφcon $y'=\sec \phi$ da que unha táboa de integrais dá

$y=\ln[\sec(\phi )+\tan(\phi )]+C\,$ .

É conveniente asignar φ = 0 ay= 0, co que a constante C se anula,C= 0.

Controversia

Como en todaproxección cartográfica,cando se intenta axustar unha superficie esférica nunha superficie plana, a forma do mapa é unha distorsión da verdadeira configuración da superficie terrestre. A proxección de Mercator vai esaxerando o tamaño das terras a medida que se afasta da liña do Ecuador.

Por iso, nos mapamundis MercatorGroenlandiaaparece aproximadamente do tamaño deÁfrica,cando en realidade a superficie de África é aproximadamente 14 veces a de Groenlandia eAlascaaparece similar en tamaño aoBrasil,cando a área do Brasil é case cinco veces maior cá de Alasca.

Aínda que moi usada na navegación, os críticos argumentan que non é axeitada para representar o mundo completo debido á distorsión das áreas. O propio Mercator empregou unhaproxección equivalente(é dicir, que conserva a proporción entre áreas) nos seus mapas rexionais non destinados á navegación. Como resultado destas críticas, os atlas modernos xa non adoitan empregar a proxección de Mercator paramapamundisou rexións distantes do Ecuador, prefirindo outrasproxeccións cilíndricas,ou proxeccións equivalentes (equiáreas). A proxección de Mercator, con todo, continúa a empregarse para rexións próximas ao Ecuador.

Arno Petersprovocou controversia cando propuxo a proxección coñecida comoproxección de Gall-Peters,unha leve modificación da cilíndrica equivalente de Lambert, comoaalternativa á de Mercator. Unha resolución de 1989 de sete grupos xeográficos norteamericanos desbotou o emprego de todos os mapamundis de coordenadas rectangulares (cilíndricas), incluíndo a Mercator e a Gall-Peters.^[1]

Uso actual en Internet

As aplicaciones web de cartografía, comoGoogle Maps,OpenStreetMapouBing Maps,empregan actualmente a proxección de Mercator. Concretamente utilizan unha variante que supón que a superficie do planeta é esférica en vez da forma exacta, elipsoidal, para simplificar os cálculos. Os desenvolvedores de Bing Maps xustificaron a escolla da proxección de Mercator por dous motivos. En primeiro lugar, como en todaproxección cilíndrica,en calquera punto do planeta a dirección norte-sur aparece sempre vertical e a leste-oeste horizontal. En segundo lugar, por ser unhaproxección conforme,as formas dos edificios non se distorsionan, evitando que un edificio cadrado poida aparecer rectangular como ocorre noutras proxeccións. Estas dúas virtudes compensan segundo os autores destas aplicacións, as significativas distorsións de escala que introduce a proxección de Mercator, sobre todo nas rexións achegadas aos polos.^[2]

Google Satellite Maps, por outra banda, empregou unhaproxección plate carréeata xullo de 2005.

Nos mapas enGoogle Mapsa máxima latitude representada é de +/– 85.0511287798066 graos.

Notas

↑American Cartographer.1989. 16(3): 222-223.
↑Schwartz, Joe."Bing Maps Tile System"(eninglés).Consultado o 6 de marzo de 2014.

Véxase tamén

Bibliografía

Maling, Derek Hylton (1992).Coordinate Systems and Map Projections(second ed.). Pergamon Press.ISBN 0-08-037233-3..
Monmonier, Mark (2004).Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection(Hardcover ed.). Chicago: The University of Chicago Press.ISBN 0-226-53431-6.
Olver, F. W.J.; Lozier, D.W.; Boisvert, R.F.; et al., eds. (2010).NIST Handbook of Mathematical Functions.Cambridge University Press.
Osborne, Peter (2013).The Mercator Projections.doi:10.5281/zenodo.35392.(Supplements:Maxima filesandLatex code and figures)
Rapp, Richard H (1991).Geometric Geodesy, Part I.
Snyder, John P (1993).Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections.University of Chicago Press.ISBN 0-226-76747-7.
Snyder, John P. (1987).Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395.United States Government Printing Office, Washington, D.C.This paper can be downloaded fromUSGS pages.It gives full details of most projections, together with interesting introductory sections, but it does not derive any of the projections from first principles.

Ligazóns externas

Convertedor de xeodésica á proxección de Mercator Arquivado11 de setembro de 2017 enWayback Machine.
Convertedor da proxección de Mercator á xeodésica Arquivado10 de setembro de 2017 enWayback Machine.

[1] American Cartographer.1989. 16(3): 222-223.

[2] Schwartz, Joe."Bing Maps Tile System"(eninglés).Consultado o 6 de marzo de 2014.

[1]

[2]