מעגל חוסם

מעגל חוסם של מתומן

בגאומטריה של המישור,מעגל חוסםשלמצולעהואמעגלהעובר דרך כל הקודקודים של המצולע.בין המצולעים שיש להם מעגל חוסם: כל המשולשים,כל המלבנים,וכל המצולעים המשוכללים.מצולע שיש לו מעגל חוסם נקראמצולע ציקלי.

המעגל החוסם משולש

בניית המעגל החוסם באמצעותמחוגה וסרגל

במשולש, מרכז המעגל החוסם הוא הנקודהשבהנפגשיםשלושת האנכים האמצעייםשל הצלעות. הסיבה לכך היא שאנך האמצעים הוא המקום הגאומטרישל הנקודות שמרחקיהן מקצות הקטע שווים זה לזה, ומרחקו של המרכז מן הקודקודים, העומדים בקצותיה של כל צלע, הוא קבוע.

מיקומו של מרכז המעגל החוסם במשולש תלוי בסוג המשולש. במשולש חד-זוויתהמרכז בתוך המשולש, במשולש ישר-זוויתהמרכז נמצא באמצע היתר(זהו אחד הנוסחים שלמשפט תלס), ובמשולש קהה-זוויתהמרכז מחוץ למשולש.

• 
  במשולש חד-זווית, מרכז המעגל החוסם בתוך המשולש
• 
  במשולש ישר-זווית, מרכז המעגל החוסם באמצע היתר
• 
  במשולש קהה-זווית, מרכז המעגל החוסם מחוץ למשולש

מרכז המעגל החוסם של משולש נמצא עלקו ישראחד עם מפגש התיכונים ועם מפגש הגבהים; הישר המחבר את הנקודות נקראישר אוילר.

שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד אינן יוצרות משולש במובן המקובל של המילה, אבל אפשר להתייחס לישר המונח עליהן כאילו היה המעגל החוסם - "מעגל ברדיוס אינסופי". נקודות הקרובות למצב כזה עשויות לגרום לאי-יציבות בחישוב המעגל החוסם.

משפט אוילר,הקרוי על שמו של המתמטיקאילאונרד אוילר,קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום שלמשולשמקיים:$d^{2}=R\cdot (R-2r)$,כאשר R הוארדיוסהמעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי:$R\geq 2r$.

הזוויות בין הישר המשיקלמעגל החוסם, בקודקוד A, לבין צלעות המשולש, שוות לזוויות B ו- C.

ישר סימסון (באדום) העובר דרך נקודות ההיטל של נקודה הנמצאת על המעגל החוסם (בכחול), על צלעות המשולש (בשחור)

נקודה P נמצאת על המעגל החוסם אם ורק אם שלושת ההיטלים שלה על צלעות המשולש או המשכיהן נמצאים על ישר אחד. ישרים אלו, שהתגלו על ידי William Wallach ב-1797, קרויים בטעותישרי סימסון,על-שם Robert Simson, ‏1687-1768.

הקוטר והמרכז של המעגל החוסם

נסמן ב-$a,b,c$את צלעות המשולש, וב-$\alpha$את הזווית שמול$a$.לפימשפט הסינוסים,$a=2Rsin(\alpha )$,ולכן שטח המשולש נתון לפי השוויון$S={\frac {1}{2}}bc\sin(\alpha )={\frac {abc}{4R}}$.מכאן שבכל משולש מתקיים היחס$\ 4RS=abc$.את רדיוס המעגל החוסם אפשר לחשב ישירות מאורכי הצלעות a, b ו- c, לפי הנוסחה$\ R={\frac {abc}{4S}}$,כאשר$\ S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$הוא שטח המשולש (לפינוסחת הרון), ו-$\ s={\frac {a+b+c}{2}}$חצי ההיקף. קוטרו שלמעגל פיירבךהוא מחצית מזה של המעגל החוסם.

בקואורדינטות קרטזיות, המעגל החוסם של משולש שקודקודיו בנקודות$\mathbf {A} =(A_{x},A_{y})$,$\mathbf {B} =(B_{x},B_{y})$ו-$\mathbf {C} =(C_{x},C_{y})$הוא האוסף של נקודות$\ v=(v_{x},v_{y})$המקיימות את המשוואות$|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$,$|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ו-$|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ו-$|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$,שמהן נובע גם ש-$\mathbf {u}$הוא מרכז המעגל החוסם. כשהופכים את המשוואות למערכת המשוואות הליניארית,מתברר שהן שקולות לכך שלמטריצההריבועית ${\begin{vmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{vmatrix}}$תהיהדטרמיננטהאפס. מנוסחת קרמרמתקבל הפתרון$\quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{vmatrix}},$, $a=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad b=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{vmatrix}}$,ואז מתקבל המרכז$\ S/a$ורדיוס המעגל$\ {\sqrt {ab+|S|^{2}}}/a$.חישוב דומה מוביל לנוסחאות הכדור החוסםשלארבעון.

בקואורדינטות בריצנטריות,המעגל החוסם הוא אוסף הנקודות$\ x:y:z$המקיימות$\ {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}=0$.מרכז המעגל בקואורדינטות אלה הוא$\ a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$.

מעגל חוסם של מרובע

ערך מורחב –מרובע ציקלי

מרובע הוא ציקלי (כלומר, יש לו מעגל חוסם),אם ורק אםהסכום של כל זוגזוויותנגדיות הוא 180מעלות.

מעגל עוטף מינימלי

לא לכל מצולע יש מעגל חוסם, שהרי הקודקודים אינם חייבים להיות מונחים על מעגל אחד. עם זאת, לכל מצולע ישמעגל עוטף מינימלי,שהוא המעגל הקטן ביותר הכולל בתוכו את המצולע (לבנייתהמעגל העוטף המינימלי ישאלגוריתםליניארי). המעגל החוסם עשוי להיות גדול מן המעגל העוטף המינימלי, למשל עבורמשולש קהה זווית,שקוטר המעגל העוטף המינימלי שלו שווה לצלע הגדולה של המשולש.

מעגל חוסם במצולע משוכלל

מעגל חוסם ומעגל חסוםבמשובעמשוכלל

במצולע משוכלל,מרכז המעגל החוסם מתלכד עם מרכז המעגל החסום.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל

t - אורך הצלע במצולע המשוכלל

R -רדיוסהמעגל החוסם

r - רדיוסהמעגל החסום.

מתקיים:

$\ t=2r\tan {\frac {\pi }{n}}=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

$\ r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{n}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}$

$\ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}=r\sec {\frac {\pi }{n}}$

מעגלים חוסמים בעלי רדיוס טבעי

בהינתן שני אורכים שלמיםaו-bכך ש-b>aלא קשה להרכיב מהםמשולש רציונלי(משולש רציונלי הוא משולש שכל אורכי צלעותיו הםמספרים טבעיים); אורך הצלע השלישית שלוcמקיים$b+a>c>b-a$כך שיש טווח ממשי של 2a ערכים אפשריים לאורך הצלע השלישית; לכן אין שום קושי בהרכבת משולש רציונלי. הקושי הוא כשעולה דרישה נוספת, והיא שרדיוס המעגל החוסם יהיה גם מספר טבעי.

קרל פרידריך גאוסמצא,במכתב מ-1847, שכל המשולשים הרציונליים שגם אורך רדיוס המעגל החוסם אותם טבעי, מקיימים שאורכי צלעותיהם הם מהצורה:

$4abfg(a^{2}+b^{2}),\pm 4ab(f+g)(a^{2}f-b^{2}g),4ab(a^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})$

כאשרa,b,f,gמספרים טבעיים, בעוד$r=(a^{2}+b^{2})(a^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})$.

ראו גם

• מעגל חסום
• קבוע קפלר באוקמפ

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושאמעגל חוסםבוויקישיתוף

• מעגל חוסם,באתרMathWorld(באנגלית)