מעגל תשע הנקודות
בגאומטריה,מעגל תשע הנקודות(נקרא גם "מעגל אוילר"או"מעגל פיירבך") הואמעגלהעובר במשולשכלשהו דרך תשע הנקודותהבאות:
- אמצעי הצלעות
- עקבי הגבהים,כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
- אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים
בשנת1765גילהלאונרד אוילרשתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822גילהקרל וילהלם פיירבך,שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזהמשיקלארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילהאולרי טרקםשהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.
בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה-שוקייםישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה-צלעות- שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר-זווית- חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ( "משולש כסף") - ארבע.
במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסוםבמשולש.
תכונות
[עריכת קוד מקור|עריכה]- מעגל תשע הנקודות מתקבל מהומותטיה(Homothety) במקדם חצי שלהמעגל החוסםדרך מפגש הגבהים. מכאן נובע:
- המעגל משיקלארבעת המעגלים המשיקים למשולש (המעגל החסוםושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ).
- נקודת חיתוך קטעי האמצעים שלמרובע ציקלישייכת למעגל תשע הנקודות של משולש האלכסונים.[1][2]
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור|עריכה]
- מעגל פויירבאך,באתר מחלקה להוראת המדעים,מכון ויצמן למדע
- מעגל תשע הנקודות,באתרMathWorld(באנגלית)
- נקודות חדשות על מעגל תשע הנקודות(באנגלית)
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור|עריכה]- ^דוד פרייברט,חידושים בגיאומטריה אוקלידית - תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו,הוצאת אקדמון, 2021
- ^David Fraivert,New points that belong to the nine-point circle,The Mathematical Gazette, 2019(באנגלית)