Logaritam

Logaritamska funkcija po tri baze, crveno po bazi 10, zeleno po bazie,plavo po bazi 2

Logaritamnekog pozitivnogrealnog brojaxu nekoj bazibje brojykojim se trebapotenciratibazu da bi dobili zadanu vrijednostx.

Što pišemo na sljedeći način:

${\text{ ako je }}x=b^{y},{\text{ onda je }}y=\log _{b}(x)\,.$

Primjeri logaritama brojeva po bazi 10:

$\log _{10}(10)=log_{10}(10^{1})=1\,.$

$\log _{10}(100)=log_{10}(10^{2})=2\,.$

$\log _{10}(1.000)=log_{10}(10^{3})=3\,.$

$\log _{10}(10.000)=log_{10}(10^{4})=4\,.$

Negativni logaritamse piše kaon = −logb x;primjer njegove uporabe je u kemiji gdje predstavlja koncentraciju protona(pH).

Antilogaritamse koristi da označifunkciju inverznu logaritmu(eksponencijalna funkcija, odnosno stupnjevanje). Piše se kaoantilog_b(n)i znači isto što ibⁿ.

Dvostruki logaritamjeinverzna funkcijadvostruke eksponencijalne funkcije. Superlogaritam ili hiperlogaritam je inverzna funkcija supereksponencijalne funkcije. Superlogaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritamse spominje u teoriji konačnih grupa. Vjeruje se da je za nekekonačne grupediskretni logaritam vrlo teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale vrlo lako izračunati. Ovaasimetrijaima primjene ukriptografiji.

Povijest

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metodu prirodnog logaritma je prvi predložio 1614John Napieru svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz uporabe.

Logaritamske operacije

$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$

$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$

$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$

Ukidanje eksponenta

$b^{\log _{b}(x)}=x$

$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$

Promjena osnove

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Prirodni logaritam

Logaritam po bazie(Eulerov broj) zovemoprirodnimlogaritmom i pišemo kaolnumjestolog.

$\ln(e^{3})=3\,.$tj.--> 3 x lne = 3 x 1 = 3

Izvori

Nedovršeni članakLogaritamkoji govori o matematici treba dopuniti.Dopunite gapremapravilima Wikipedije.