Radijvektor

Radijvektor${\vec {r}}$određuje položaj točke$\mathrm {P}$u odnosu na pol$\mathrm {O}$.U Kartezijevom sustavu on se može prikazati pomoću projekcija točke na jedinične vektore osi${\hat {e}}_{x}$,${\hat {e}}_{y}$,${\hat {e}}_{z}$kao${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}$.

Radijvektor,radijusvektor,radijus-vektorilivektor položajajevektor${\vec {r}}$kojemu je vrh u promatranoj točki P, a početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O(polu),obično ishodištu nekogakoordinatnog sustava.Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše$\mathrm {P} ({\vec {r}})$.Ako je pol u ishodištuKartezijeva sustava,koordinate radijvektora točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Formalno je svaki vektorklasausmjerenih dužina koje se translacijom mogu dovesti jedna u drugu, što znači da imaju jednak smjer i duljinu, pa su radijvektori samo predstavnici svoje klase s početkom u odabranoj točki.

Primjena

Umehanicise jednadžbe gibanja čestica i tijela u prostoru iskazuju pomoću njihova vektora položaja${\vec {r}}$te njegovihderivacija,brzine

${\vec {v}}={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}$

i ubrzanja

${\vec {a}}={\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}$.

Ovdje podebljani simboli, jednako kao i strelice, označavaju vektore, a točke iznad simbola prvu i drugu derivaciju po vremenu.

U fizici se Newtonov zakon u slučajevima kada sila nema jednostavnu ovisnost o koordinatama često piše kao diferencijalna jednadžba

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)$

što je u Kartezijevom sustavu ekvivalentno trima jednadžbama za svaku od tri ortogonalne komponente radijvektora${\vec {r}}=(x,y,z)$i sile${\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})$:

$m{\ddot {x}}=F_{x}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m{\ddot {y}}=F_{y}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m{\ddot {z}}=F_{z}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$.

Ovdje je općenito stavljeno da sila u svakom smjeru može ovisiti o svim koordinatama tijela te o svim komponentama njegove brzine.

Drugi Keplerov zakon

Podrobniji članak o temi:Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (vektor položaja)Sunce-planetopisuje u jednakimvremenskimrazmacima jednakepovršine(plava površina). Zelena strelica prikazujebrzinu(vektorbrzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazujeubrzanje(ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna s brzinom.

DrugiKeplerovzakon glasi:

RadijvektorSunce-planetopisuje u jednakimvremenskimrazmacima jednakepovršine.

$dv$je priraštaj kuta$v$koji odgovara kratkom intervalu$dt$.Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

$dp={\frac {r^{2}\,\pi }{2\,\pi }}\cdot dv={\frac {1}{2}}\,r^{2}\,dv$

($v$uradijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj$dv$vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom$r$.Tako proizlazi:

${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}\,r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}$

Ova se veličina nazivapovršinskom brzinom.Prema drugom Keplerovu zakonu ona je konstantna pa se zakon može napisati kao

$r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}=C$.