Integral
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/20px-Disambig.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Integral_example.svg/220px-Integral_example.svg.png)
Integralje ključna koncepcija višematematike,napose područjainfinitezimalnog računaimatematičke analize.Ideju su integriranja oblikovali u kasnom sedamnaestom stoljećuIsaac NewtoniGottfried Wilhelm Leibniz.Skupa s konceptomderivacije,integral je postao osnovni alat infinitezimalnog računa, s brojnim primjenama u znanosti i inženjerstvu. Integriranje i deriviranje su povezaniosnovnim stavkom integralnog računa.Pod kolokvijalnim pojmom "integral" podrazumijevaju se dva, u matematici bitno različita pojma - određeni i neodređeni integral.
Za danufunkcijuf(x) realnevarijablexiinterval[a,b] na pravcurealnih brojeva,integral
predstavljapovršinupodručja uxy-ravnini ograničenugrafomodf,x-osi, i okomitim pravcimax=aix=b.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/200px-Riemann_sum_convergence.png)
- Po definiciji vrijedi:
- Vrijedi:
- Homogenost:
- =
- Aditivnost:
Homogenost i aditivnost zajedničkim imenom nazivamolinearnost(zbog veze slinearnim operatorima) pa možemo pisati:
- Monotonost:
- Ako jetada vrijedi
- Određeni integral zadovoljavanejednakost trokuta:
- .[1]
Jednu od prvih rigoroznih matematičkih definicija određenog integrala dao jeBernhard Riemann.Zasnovana je na postupkugraničnih vrijednostipravokutnih površina kojima se aproksimira površina između krivulje ix-osi, njezinim dijeljenjem (razdiobom, subdivizijom) u vertikalne pravokutne odsječke. Pri tome se promatraju dvije aproksimacije; aproksimacija površinama većima od tražene površine, te aproksimacija površinama manjima od tražene površine. Te se aproksimacije nazivaju gornjom i donjom integralnom (iliDarboux-ovom) sumom. Ako se smanjivanjem širine intervala nad kojima su konstruirane aproksimativne površine, na način da maksimalna širina intervala razdiobe teži ka nuli, dobije konačna granična vrijednost, te ako je ta granična vrijednost jednaka za gornju i donju integralnu sumu, kažemo da određeni integral postoji i poprima vrijednost tog graničnog izraza (limesa).[2]
Počevši od devetnaestog stoljeća, pojavljuju se složenije oznake integriranja, pri čemu se poopćuje tip funkcije i domena integracije.Krivuljni integralje definiran za funkcije dvije ili tri varijable, i interval integracije [a,b] je zamijenjen određenimkrivuljamakoje spajaju dvije točke ravnine ili prostora. Uplošnom integralu,krivulja je zamijenjena dijelomplohetrodimenzionalnog prostora. Integralidiferencijalnih formiigraju fundamentalnu ulogu u suvremenojdiferencijalnoj geometriji.Ova su poopćenja integrala prvotno iznikla iz potrebafizike,i igraju značajnu ulogu u oblikovanju fizikalnih zakona, napose uelektrodinamici.Apstraktnu matematičku teoriju poznatu kaoLebesque integracijaje razvioHenri Lebesgue.
Neodređeni integral, u oznaci
predstavlja potpuno drugi pojam. Njime označavamo "antiderivaciju",tj. ako soznačimo,tada je.FunkcijaF(x)naziva se "primitivnom funkcijom"funkcijef(x),ili njenom "antiderivacijom".Smisao tog matematičkog pojma je, za zadanu funkciju (f(x)) odrediti funkciju (F(x)) koja deriviranjem daje početnu funkciju.[3]
Na primjer, ako je,tj. ako pokušamo odrediti,lako je vidjeti da je,budući je derivacija odupravo.No to nije jedina takva funkcija! Izrazmožemo također dobiti deriviranjem izraza,ili npr..
Lako se vidi da se svake dvije antiderivacije razlikuju za konstantu, tj. vrijedi ako suF(x)iG(x)dvije antiderivacije funkcijef(x)da je tadaF(x) = G(x) + C,gdje jeCneki realan broj. Zbog toga se u općem zapisu antiderivacije prilikom rješavanja neodređenih integrala u rješenju pojavljuje zapis "+C".
Antiderivacije za osnovne funkcije obično se navode u tablici osnovnih (neodređenih) integrala.
Osnovni teorem integralnog računa(eng.Fundamental theorem of calculus), koji se često, po tvorcima, naziva iNewton-Leibnitzovom formulom,daje nam vezu određenog i neodređenog integrala. Njime je dokazano da se vrijednost određenog integrala (dakle, površina) može računati pomoću neodređenog integrala (dakle, antiderivacije) po formuli:
gdje jeprimitivna funkcija (antiderivacija) funkcije.
To se lako može izvesti. Neka imamo derivabilnu realnu funkcijui neka je njezina derivacijaPredočimo funkcijuu Kartezijevoj ravnini i odaberimo neki interval na apscisi,Sada zamislimo da smo taj segmentpodijelili najednakih dijelova od kojih je svaki dugačak(pomaže vizualizirati da jekonačan, ali dovoljno veliki broj). Kadamožemo napraviti sljedeće. Redom ćemo vrijednostipomnožiti sšto usput odgovara pronalaženju površine ispodna intervalujer možemo zamisliti da dijelimo površinu na sve više pseudopravokutnika kojemu je površina približno jednaka umnošku brojevai dužine (primjerice) lijeve stranice tog pseudopravokutnika. Kako jederivacija funkcijevrijedi da je za nekiiz domene funkcijenjezina izlazna vrijednost zapravoZato će se gore navedenim postupkom množenjem si sumiranjem dobiti broj što je jednako
Za razliku od deriviranja, integriranje je puno složeniji postupak. Dok poznavanjem tablice derivacija elementarnih funkcija i pravila za deriviranje (zbroja, razlike, umnoška, kvocjenta i složene funkcije) možemo derivirati svaku funkciju, kod integriranja postupak nije tako jednostavan. Integriranje poznaje samo dva (elementarna) pravila:
- Pravilo za integriranje funkcije pomnožene skalarom
- Pravilo za integriranje zbroja i razlike funkcija
Ne postoje pravila za integriranje umnoška, kvocjenta ili složene funkcije, a mnogi integrali su dokazano nerješivi pomoću elementarnih funkcija, poput integrala.
Tri osnovne metode koje koristimo za rješavanje integrala su[4]:
Metoda neposredne integracijeje metoda u kojoj je cilj podintegralnu funkcijuf(x)zapisati na matematički ekvivalentan način, ali koji omogućuje integriranje pomoću tablice osnovnih integrala. Na primjer, ne postoji pravilo za integriranje umnoška,no ako podintegralnu funkciju zapišemo svođenjem izraza na zajedničku bazu x,,integral rješavamo uz pomoć tablice osnovnih integrala.
Metoda supstitucijeje metoda kojom se dio ili cijela podintegralna funkcija zamijenila jednostavnijim izrazom.
Metoda parcijalne integracijeje metoda čija je osnovna formula izvedena iz formule za deriviranje umnoška. Smisao metode je, prema postupku opisanom formulom, dio podintegralne funkcije derivirati, a dio integrirati (otuda i nazivparcijalnaintegracija). Cilj je pažljivim odabirom metodu provesti kako bi se nakon upotrebe metode dobio jednostavniji oblik integrala
Integriranje je suprotan postupak deriviranju, tj. kada učinimo ove radnje jednu za drugom, novisno o poretku (s pretpostavkom da je to moguće), dobivamo originalu funkciju. Integriranjemtražimo površinu iznad ili ispod nje s obzirom na apscisu.
Da bismo razumjeli zašto je tome tako, ovdje navodimo intuitivni pristup ovome problemu. Neka imamo neprekidnu i derivabilnu funkcijuNeka imamo funkcijukojoj će očito ulazna vrijednost odgovarati ulaznoj vrijednosti,a izlazna nagibu sekante određenoj točkama na.Kadanagib sekante postaje nagib tangente na točkuDrugim riječima, deriviravšidobili smo funkciju koja opisuje osjetljivost promjene izlazne vrijednosti u odnosu na promjenu ulazne koja se promijeni za izuzetno mali iznos,
Uzmimo sada za primjer s-t graf, tj. neka jefunkcija puta o vremenu koji bilježimo pri neprekinutoj vožnji automobilom. Tu funkciju ćemo promatrati na intervaluzamislimo da jeizuzetno malen, ali određen (fiksan) i takav da jenjegov prirodni višekratnik. Tada je očitorastuća funkcija. Deriviranjem te funkcije na intervaludobili smo funkciju,funkciju koja ima konačan broj ulaznih vrijednostii koja za izlazne vrijednosti ima vrijednostiprosječnih brzinana intervalima funkcije:Time smo dobili konačan broj pravokutnih trapeza određenih vrhovimaKako jevrlo malen, površina trapeza gotovo je jednaka površini pravokutnika
Uočimo da se sada površina (aproksimalno) može izračunati zbrajanjem površina svih pravokutnika: S =Ključan korak je u tome da je zapravo svaki taj umnožak, odnosno površina, jednakapromjeni puta(jer je) na intervaluDakle,je zapravo jednak cjelokupno prijeđenom putu za vrijeme
Neka je sadafunkcija koja na gore pojašnjeni način opisujepovršinuispod grafa funkcijeTada kažemo da smo integriraliZbog gore navednog argumenta zaključujujemo da zapravoopisuje prijeđeni put za neko vrijemeodnosnoZagreška u računanju je zanemariva.
Ako je pak redoslijed obrnut, tj. prvo integriramo,možemo zamisliti da jederivacija neke funkcije što nas vraća na prethodni slučaj.
Dakle, integriranje i deriviranje iste funkcije su suprotni procesi.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Improper_integral_2018.svg/220px-Improper_integral_2018.svg.png)
Nepravi integralje proširenje koncepta integrala na poluotvorene segmente ili na interval,s tim da rubna točkabmože biti beskonačna i funkcija u okolini točkebmože biti neograničena.[5]
Promotrimo funkciju.Pomoću nepravog integrala možemo i skupu ispod grafa te funkcije, i iznad osix,nadodijeliti njegovu površinu i to na ovaj način:
U tom slučaju napisani limes se naziva nepravim integralom. Ako postoji taj limes onda se kaže da integralkonvergira.Obično se u literaturi nepravi integral zapisuje isto kao i običan integral, pa čitatelj treba ispitivanjem podintegralne funkcije i granica integracije utvrditi o kojem je integralu riječ.
- ↑Teoremi o određenom integralu
- ↑http:// pmfst.hr/~jperic/DIR2-2012-13.pdf Arhivirana inačica izvorne straniceod 21. rujna 2013. (Wayback Machine) str. 28 Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑http:// pmfst.hr/~jperic/DIR2-2012-13.pdf Arhivirana inačica izvorne straniceod 21. rujna 2013. (Wayback Machine) str.1 Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑http:// fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS/dif_racun_II/08_tehnike_integriranja.pdf Arhivirana inačica izvorne straniceod 21. rujna 2013. (Wayback Machine) Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑Svetozar Kurepa:Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable,Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 231-234)