Prazni skup

Prazni skup je skup koji ne sadrži elemente.

Umatematici,specifično uteoriji skupova,prazni skupilinul-skupje jedinstveniskupkoji ne sadrži nijedan element. Uaksiomatskoj teoriji skupovase njegovo postojanje postuliraaksiomom praznog skupa,iz kojeg se grade svikonačni skupovi.

Razna općenita svojstva skupova su trivijalno istinita za prazni skup.

Notacija

Prazni se skup označava jednim od simbola "$\varnothing$"ili"$\emptyset$",izvedenim iz slova Ø danske i norveške abecede, i uvedenim od strane grupe Bourbaki (specifično André Weil] 1939.[1]). Druga uobičajena notacija za prazni skup jest "{}".

Svojstva

• Za svaki skupA,prazni skup je podskup odA:

  ∀A:∅ ⊆A

• Za svaki skupA,unija skupaAi praznog skupa jestA:

  ∀A:A∪ ∅ =A

• Za svaki skupA,presjek skupaAi praznog skupa je prazni skup:

  ∀A:A∩ ∅ = ∅

• Za svaki skupA,Kartezijev produkt skupaAi praznog skupa je prazni skup:

  ∀A:A× ∅ = ∅

• Jedini podskup praznog skupa jest sam prazni skup:

  ∀A:A⊆ ∅ ⇒A= ∅

• Broj elemenata praznog skupa (tj. njegovakardinalnost) jest nula - prazni je skup konačan:

  |∅| = 0

• Za svako svojstvo:
  • za svaki element skupa ∅ svojstvo je zadovoljeno (trivijalno istinito)
  • ne postoji element skupa ∅ za koji je svojstvo zadovoljeno
• Obratom ove tvrdnje slijedi: ako su, za neko svojstvo, sljedeće dvije tvrdnje zadovoljene:
  • za svaki element skupa V svojstvo je zadovoljeno
  • ne postoji element V za kojeg je svojstvo zadovoljeno

tada V = ∅

U matematici je terminprazan skupjedinstveno određen - uteoriji skupova,dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente, te stoga može biti samo jedan skup bez elemenata.

Smatran podskupom brojevne crte (ili općenitije bilo kojeg topološkog prostora), prazni je skup istovremeno i otvoren i zatvoren. Sve njegove granice (kojih nema) su u praznom skupu, te je skup stoga zatvoren - a istovremeno za svaku svoju točku (kojih također nema) postojiotvoreno okruženjeu praznom skupu, te je stoga i otvoren. Štoviše, prazni skup je kompaktan činjenicom da je svaki konačni skup kompaktan.

Okruženje praznog skupa je prazno. Ovo je poznato kao "očuvanje nularnih unija".

Uobičajeni problemi

Prazni skup nije isto što iništa- on je skup koji sadržiništa,a taj skup jestnešto.Ovo poimanje često uzrokuje nedoumice kod onih koji se prvi put susreću s pojmom praznog skupa. Korisno je predočiti si prazni skup kao vreću koja može sadržavati neke stvari - vreća može biti prazna, ali vreća zasigurno sama po sebi postoji.

Po definiciji podskupa, prazni skup je podskup bilo kojeg skupaA,jersvakielementxskupa {} pripada skupuA.Ako ne bi bilo istinito da je svaki element skupa {} u skupuA,tada bi morao postojati barem jedan element skupa {} koji nije prisutan uA.Budući da uopćenepostoje elementi skupa {}, ne postoji element skupa {} koji nije uA,što vodi do zaključka da je svaki element skupa {} u skupu A, te da je {} podskup skupaA.Svaka tvrdnja koja započinje sa "za svaki element skupa {}" ne tvrdi ništa novo - ona je trivijalno istinita. Ovo se često parafrazira kao "sve je istina nad elementima praznog skupa".

Aksiomatska teorija skupova

Uaksiomatskoj teoriji skupovapoznatoj i kaoZermelo-Fraenkelova teorijaskupova, postojanje praznog skupa je osiguranoaksiomom praznog skupa.Jedinstvenost praznog skupa slijedi izaksioma rasprostranjenosti.

Svaki aksiom koji tvrdi postojanje nekog skupa će implicirati aksiom praznog skupa, koristećiseparacijsku shemu aksioma.Na primjer, ako jeAskup, tada separacijska shema aksioma dopušta konstrukciju skupaB= {xinA|x≠x}, koji se može definirati da bude prazni skup.

Operacije na praznom skupu

Operacije obavljene na praznom skupu (kao skup stvari nad kojima se operira) mogu također zbunjivati. (Takve operacije zovemonularne operacije.) Na primjer, suma svih elemenata praznog skupa je nula, ali produkt svih elemenata praznog skupa je jedan. Ovo se čini čudno, pošto prazni skup nema elemenata, i postavlja se pitanje kakvu razliku čine operacije njihova zbrajanja i množenja (poštoonini ne postoje)? U konačnici, rezultat ovih operacija više govori o operaciji u pitanju nego o praznom skupu. Na primjer, uočavamo da je nula neutralni element operacije zbrajanja, dok je jedan neutralni element operacije množenja.

Međe

Budući da prazni skup nema članova, kad ga promatramo kao podskup bilo kojeg uređenog skupa, bilo koji član skupa će biti gornja i donja međa za prazni skup. Na primjer, kada ga smatramo podskupom realnih brojeva, sa svojim uobičajenim uređenjem predstavljenim realnombrojevnom crtom,svaki realni broj je i gornja i donja međa praznog skupa. Kad ga promatramo kao podskupproširenih realnih brojevakoje dobijemo dodavanjem dva "broja" ili "točke" normalnom skupu realnih brojeva,negativnu beskonačnostoznačenu simbolom$-\infty \!\,,$za koju definiramo da je manja od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, tepozitivnu beskonačnostoznačenu simbolom$+\infty \!\,,$za koju definiramo da je veća od bilo kojeg drugog proširenog realnog broja, tada vrijedi:

$\sup \varnothing =\min(\{-\infty,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty,$

i

$\inf \varnothing =\max(\{-\infty,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty.$

To jest, najmanja gornja međa (sup ilisupremum) praznog skupa jenegativna beskonačnost,dok je najveća donja međa (inf iliinfimum)pozitivna beskonačnost.Po analogiji s gornjim, slijedi da je u domeni proširenih realnih brojeva negativna beskonačnostneutralni elementzaoperatoremaksimuma i supremuma, dok je pozitivna beskonačnost neutralni element za minimum i infimum.

Prazni skup i nula

Već je spomenuto da prazni skup imanulaelemenata, ili da je njegova kardinalnost jednaka nula. Veza između ova dva koncepta ide i dalje: u standardnoj definiciji prirodnih brojeva preko skupova, nula jedefiniranakao prazni skup.

Teorija kategorija

Ako jeAskup, tada postoji točno jednafunkcijafiz {} uA,prazna funkcija.Kao rezultat toga, prazni skup je jedinstveninicijalni objektkategorije skupova i funkcija.

Prazni se skup može pretvoriti u topološki prostor na samo jedan način (definiranjem da je prazni skup otvoren) - ovaj prazni topološki prostor je jedinstven inicijalni objekt u kategoriji topoloških prostora s kontinuiranim (neprekinutim) preslikavanjima.