Skup

Umatematici,skupse može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih apstraktnih objekata smatranim cjelinom. Iako se ovo čini jednostavnom idejom, skupovi su jedan od najvažnijih fundamentalnih koncepata u modernoj matematici.Matematička disciplina koja proučava moguće skupove,teorija skupova,je sadržajno bogata i aktivna.

Teorija skupova,stvorena tek krajem 19. stoljeća, je danas sveprisutni dio matematičkog obrazovanja, te se stoga u većini zemalja uvodi već u osnovnoj školi. Teorija skupova se može shvatiti kao osnova nad kojom može biti izgrađena gotovo cijela matematika, te kao ishodište iz kojeg gotovo cijela matematika može biti izvedena. Ovaj članak predstavlja kratak i osnovni uvod u ono što matematičari zovu "intuitivna" ili "naivna" teorija - za više detalja pogledatinaivna teorija skupova.Za rigorozniji i modernijiaksiomatskipristup skupovima, razvijena je aksiomatska teorija skupova.

Matematički odnos između skupova se može vizualizirati Vennovim dijagramom.

Definicija

Na početku svog djelaBeiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre,Georg Cantor,principijelni tvorac teorije skupova, je napisao sljedeću definiciju skupa: Pod terminomskupsmatramo bilo koju kolekciju M određenih, različitih objekata m naše zamjedbe ili misli (koji će se zvatielementiskupa M) u cjelinu.

Objekte skupa također zovemo njegovimčlanovimailielementima.Elementi skupa mogu biti raznih vrsta: brojevi, ljudi, slova abecede, drugi skupovi itd. Skupovi se dogovorno označavaju velikim slovimaA,B,C,itd. Za dva skupaAiBkažemo da su jednaka i zapisujemoA=Bako imaju iste članove.

Skup, za razliku odmultiskupa,ne može sadržavati više jednakih elemenata. Sve skupovne operacije čuvaju svojstvo jedinstvenosti elementa u skupu. Slično, redoslijed nabrajanja elemenata skupa je nebitan, za razliku odslijedailitupla.

Opisivanje skupova

Nemaju svi skupovi precizan opis - neki mogu jednostavno biti proizvoljne kolekcije, bez nekog jasno izraženog "pravila" koje kazuje koji su elementi unutar ili van skupa.

Neki skupovi mogu biti opisani riječima, na primjer:

Aje skup čiji su članovi prva četiricijela broja.

Bje skup čiji su članovi boje hrvatske zastave.

Dogovorno se skup također može definirati eksplicitnim nabrajanjem svih elemenata između vitičastih zagrada, na primjer:

C= {4, 2, 1, 3}

D= {crvena, bijela, plava}

Dva različita opisa mogu definirati isti skup. Na primjer, gore definirani skupoviAiCsu identični, pošto imaju jednake članove. Skraćeni zapisA=Cse koristi za izražavanje takve jednakosti. Slično, za gore definirane skupove vrijediB=D.

Identitet skupa ne ovisi o redoslijedu nabrajanja elemenata skupa, kao i o mogućim ponavljanjima elemenata prilikom nabrajanja. Na primjer, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Za skupove s mnogo elemenata ponekad se koristi skraćena lista. Na primjer, prvih tisuću pozitivnih cijelih brojeva se mogu opisati simboličkom kraticom:

{1, 2, 3,..., 1000},

pri čemu specijalni simbol od tri točke (...) označava da se lista nastavlja na podrazumijevani način.

Slično se skupparnih brojevamože opisati notacijom:

{2, 4, 6, 8,... }.

Složeniji skupovi se ponekad opisuju različitom notacijom. Na primjer, skupFčiji su članovi prvih dvadeset brojeva koji su za četiri manji od kvadrata cijelog broja, može biti opisan na sljedeći način:

F= {$n^{2}$– 4:njecijeli broj;i 0 ≤n≤ 19}

U ovom opisu, dvotočka (:) znači "takav da", i matematičari interpretiraju ovaj opis kao "Fje skup svih brojeva oblika$n^{2}$– 4, takvih da jencijeli broj u opsegu od 0 do 19 uključivo. "(Ponekad se umjesto dvotočke koristi okomita crta|.)

Članstvo skupa

Ako nešto jest ili nije element nekog pojedinačnog skupa, tada to simboliziramo sa$\in$odnosno$\notin$.Na primjer, u odnosu na već definirane skupove, vrijedi:

• $4\in A$i$285\in F$(budući da je 285 = 17² − 4); ali
• $9\notin F$i$\mathrm {zelena} \ \notin B$.

Kardinalnost skupa

Svaki gore opisan skup ima konačan broj članova - na primjer, skupAima četiri člana, dok skupBima tri člana.

Skup također može imati nula članova. Takav skup zove seprazni skupi označava simbolom ø. Na primjer, skupAsvih trostranih kvadrata ima nula članova, i stoga jeA= ø. Poput broja nula, iako naizgled trivijalan, prazni se skup pokazao kao poprilično važan u matematici.

Skup također može imati beskonačan broj članova - na primjer, skupprirodnih brojevaje beskonačan.

Kaže se da su dva skupaekvipotentna(imajuisti kardinalitetili sujednakobrojniili subijektivni) ako postojibijekcijaiz jednoga skupa u drugi skup.Relacijaekvipotencije jerelacija ekvivalencije,pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skupSzove sekardinalni brojskupaSi oznčava se sa$\left|S\right|$ili cardSili#S.

Podskup

Podrobniji članak o temi:Podskup

Ako je svaki član skupaAtakođer član skupaB,tada se zaAkaže da jepodskupodB,piše se$A\subseteq B$,te izgovaraA je sadržan u B.Može se, također, zapisati$B\supseteq A$što se čita kaoB je nadskup od A,B uključuje AiliB sadrži A.Relacija između skupova uspostavljenu sa$\subseteq$zove seinkluzija.

Ako jeApodskup i nije jednak skupuB,tada se zaAkaže da jepravi podskupskupaB,zapisuje s$A\subset B$(A je pravi podskup od B) ili$B\supset A$(B je pravi nadskup od A). Međutim, u nekoj literaturi ovi se simboli čitaju isto kao i$\subseteq$i$\supseteq$,te se stoga češto preferira korištenje eksplicitnijih simbola$\subsetneq$i$\supsetneq$za prave podskupove i nadskupove.

A je podskup od B

Aje podskup odB

Primjeri:

• Skup svih žena je pravi podskup skupa svih ljudi.
• $\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$
• $\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$

Prazni skup je podskup svakog skupa i svaki skup je sam svoj podskup:

• $\emptyset \subseteq A$
• $A\subseteq A$

Posebni skupovi

Neki istaknuti skupovi imaju izuzetnu matematičku važnosti i toliko se često koriste da su dobili posebna imena i notaciju. Jedan od njih je već spomenuti prazni skup. Neki od ostalih su:

• $\mathbb {P}$označava skup svihprostih brojeva.
• $\mathbb {N}$označava skup svihprirodnih brojeva.Drugim riječima,$\mathbb {N}$= {1, 2, 3,...}, ili rjeđe$\mathbb {N}$= {0, 1, 2, 3,...}.
• $\mathbb {Z}$označava skup svihcijelih brojeva(bilo pozitivnih, negativnih ili nule). Stoga je$\mathbb {Z}$= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}.
• $\mathbb {Q}$označava skup svihracionalnih brojeva(tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka). Stoga je$\mathbb {Q}$= {${\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}$:a,b$\in \mathbb {Z}$ib≠ 0}. Na primjer,${\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$i${\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}$.Svi cijeli brojevi su u ovom skupu jer se svaki cijeli brojamože izraziti kao razlomak${\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}}$.
• $\mathbb {R}$je skup svihrealnih brojeva.Ovaj skup uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve (tj. brojeve koji se ne mogu zapisati u obliku razlomka, kao što su$\pi,$$e,$i √2).
• $\mathbb {C}$je skup svihkompleksnih brojeva.

Svaki od ovih skupova brojeva jebeskonačan,premda vrijedi$\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$,iako se prosti brojevi općenito koriste manje od ostalih skupova izvanteorije brojevai srodnih disciplina.

Međutim, ne postoji samo jedna vrsta beskonačnosti. Za skup koji je ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom prirodnih brojeva$\mathbb {N}$kažemo da jeprebrojivo beskonačan(kraćeprebrojiv), a "veći" skupovi suneprebrojivo beskonačni(kraćeneprebrojivi).

Prebrojivo beskonačni skupovi su, na primjer, skupovi$\mathbb {P},\mathbb {N},\mathbb {Z},\mathbb {Q}$,kao i skup svih prirodnih brojeva koji su parni, neparni, djeljivi s 3, djeljivi 4, itd. Primjeri neprebrojivo beskonačnih skupova su$\mathbb {R}$i$\mathbb {C}$.

Unija

Podrobniji članak o temi:Unija skupova

Postoji nekoliko načina za konstruiranje novih skupova od već postojećih. Dva se skupa mogu "zbrojiti".UnijaskupovaAiB,označena sAUB,je skup svih elemenata koji su članovi ili skupaAili skupaB.

A unija B

UnijaskupovaAiB

Primjeri:

• {1, 2} U {crvena, bijela} = {1, 2, crvena, bijela}
• {1, 2, zelena} U {crvena, bijela, zelena} = {1, 2, crvena, bijela, zelena}
• {1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva unije:

• AUB=BUA
• Aje podskup skupaAUB
• AUA=A
• AU ø =A

Presjek

Podrobniji članak o temi:Presjek skupova

Novi se skup također može konstruirati određivanjem "zajedničkih" elemenata obaju skupova.PresjekskupovaAiB,označen sA∩B,je skup svih elemenata koji su članovi i skupaAi skupaB.Ako jeA∩B= ø, tada zaAiBkažemo da sudisjunktni.

A presjek B

PresjekskupovaAiB

Primjer:

• {1, 2} ∩ {crvena, bijela} = ø
• {1, 2, zelena} ∩ {crvena, bijela, zelena} = {zelena}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Neka osnovna svojstva presjeka:

• A∩B=B∩A
• A∩Bje podskup skupaA
• A∩A=A
• A∩ ø = ø

Komplementi

Podrobniji članak o temi:Komplement skupa

Dva se skupa također mogu "oduzeti".Relativni komplementskupaAu skupuB(još se koristi i nazivskupovna razlikaskupovaBiA), označeno sB−A,(iliB\A), je skup svih elemenata koji su članovi skupaB,ali nisu članovi skupaA.Potrebno je uočiti da je valjana operacija "oduzimanja" članova koji nisu u skupu, poput micanja elementazelenaiz skupa {1,2,3} - takva operacija nema učinka.

U određenim postavkama, svi skupovi koji se promatraju, smatraju se podskupovima nekog danoguniverzalnog skupaU.U takvim slučajevima,U−Azove seapsolutni komplementili jednostavnokomplementskupaA,i označava sA′,A^Cili${\bar {A}}$.

B minus A

Relativni komplement
skupaAu skupuB

A complement

KomplementskupaAu skupuU

Primjeri:

• {1, 2} − {crvena, bijela} = {1, 2}
• {1, 2, zelena} − {crvena, bijela, zelena} = {1, 2}
• {1, 2} − {1, 2} = ø
• Ako jeUskup svih cijelih brojeva,Pskup parnih brojeva, aNskup svih neparnih brojeva, tada komplement skupaPuUiznosiN,ili ekvivalentno,P′ =N.

Neka osnovna svojstva komplementa:

• AUA′=U
• A∩A′= ø
• (A′)′ =A
• A−A= ø
• A−B=A∩B′