Trigonometria
Atrigonometria(azógörögτρίγωνος /trigonosz– "háromszög", és μέτρον /metron– "mérés" szavakból) amatematikaegy ága, mely ageometriábanaháromszögekoldalai és szögei közötti összefüggésekkel, az analízisben az őket leírótrigonometrikus függvényekkelfoglalkozik. A trigonometria feladatai közé tartozik ezek tulajdonságainak vizsgálata és az ezeken alapuló számítások. A gömbi háromszögeket agömbi trigonometriaírja le. A gömbi szögfüggvények is a szögfüggvények közé tartoznak; ugyanúgy elemzik és felhasználják őket, mint a többit. A hiperbolikus geometriából származtathatók a hiperbolikus szögfüggvények.
A közönséges, gömbi és hiperbolikus szögfüggvények mind bevezethetők analitikus úton is. Vizsgálatukkal a geometriából eredeztethető trigonometria az analízis részévé válik.
Alapelvek
Két derékszögű háromszöghasonlóságátteljesen meghatározza egyik hegyesszögük nagysága. Ha az egyik hegyesszög mindkét háromszögben egyenlő (ekkor a másik hegyesszögük is egyenlő egymással), akkor hasonlóak, így oldalaik aránya megegyezik. Ha az egyik háromszögben bármelyik két oldalhosszt elosztjuk egymással, a hányados ugyanakkora, mint a másik háromszög megfelelő két oldalhosszának hányadosa. Ezeket az arányokat hagyományosan az ismert (példáulαszög) szögfüggvényeivel írják le:
- Aszinuszfüggvény (sin) az α szöggel szemben lévőabefogó és acátfogó hányadosa,
- Akoszinuszfüggvény (cos) az α szög mellettibbefogó és acátfogó hányadosa,
- Atangensfüggvény (tg, tan) az α szöggel szemben lévőabefogó és a szög mellettibbefogó hányadosa.
Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben.
A függvények reciprokaitkoszekáns(csc),szekáns(sec), illetvekotangens(ctg) néven hívjuk. A koszekáns a szinusz, a szekáns a koszinusz, míg a kotangens a tangens reciproka. Az inverz trigonometrikus függvények:arkuszszinusz(arc sin),arkuszkoszinusz(arc cos) ésarkusztangens(arc tg). Ezek között a függvények között fennálló összefüggések atrigonometriai összefüggések.
Ezekkel a függvényekkel egy három adatával meghatározott tetszőleges háromszög hiányzó méretei (oldalhosszúságai és szögei) kiszámíthatók aszinusztételés akoszinusztételsegítségével. Ezek az összefüggések használhatók a geometria minden területén, mivel minden sokszög véges számú háromszögre bontható.
A fenti definíciók csak 0 és 90° között (0 és π/2radiánközött) értelmezhetők. Az egységsugarú kört alkalmazva a definíció kiterjeszthető az összes pozitív és negatív argumentumra (l.trigonometrikus függvények). A trigonometrikus függvényekperiodikus függvények,180° (π radián) vagy 360° (2π radián) periodicitással. Ez azt jelenti, hogy ismétlődnek a fenti értékekkel.
Számolás trigonometrikus függvényekkel
A trigonometrikus függvényekről az elsők között készültekmatematikai táblázatok.Ilyen függvénytáblákat matematikai segédkönyvként használták a tanulók, akik megtanulták azt is, hogyan kellinterpolációthasználni a táblázatban elérhetőnél nagyobb pontosság elérésére. Alogarlécszintén tartalmazott egy vagy több skálát a szögfüggvények használatához.
Manapság a tudományoszsebszámológépekena megfelelő gomb lenyomásával érhetők el a szögfüggvények (sin, cos és tg) és inverz függvényeik. A függvények argumentuma akár fok, akár radián lehet. A legtöbb számítógépesprogramnyelvrendelkezik függvénykönyvtárakkal, melyek többek között szögfüggvényeket is tartalmaznak. Olyan interaktív számítógépes eszközök, mint például aMicrosoft Excel,szintén támogatják a szögfüggvényeket. Aszemélyi számítógépekmikroprocesszoránaklebegőpontosegysége beépített utasításkészlettel rendelkezik szögfüggvények számításához.
A trigonometria korai története
A trigonometriát valószínűlegasztronómiaicélokra találták fel. A trigonometria kezdeteit azókori Egyiptom,Mezopotámiaés azIndus-völgyi civilizációiglehet követni több, mint 4000 évvel ezelőttig. Afokokban,percekbenésmásodpercekbentörténő szögmérés ababilonihatvanas számrendszerbőlered.Edgar Banksmég a 20. század elején talált egy táblát, ahol a püthagoraszi számhármasokat írták le. Ezt sokáig nem tudták értelmezni a történészek, de valószínűsíthetően alkalmazott geometriai feladatokat oldottak meg vele.[1]
A trigonometria szögfüggvényes alkalmazása ahellenizmuskorában éltgörögmatematikustól,Hipparkhosztólszármazik kb. i. e. 150-ből, aki függvény táblát készített a szinuszfüggvényre háromszögek számításához.Ptolemaiosztovábbfejlesztette a trigonometriai számításokat i. sz. 100 körül.
AzIndiábanírtSulba Sutráki. e. 800 és i. e. 500 között pontosan számolta ki a sinπ/4 (45°) értékét, melyet 1/√2-ként adott meg.
Az ókoriszingalézek,amikor víztározókat építettekAnuradhapurakirályságban, trigonometriát használtak a vízáram gradiensének számításához.
Árjabhataindiai matematikus 499-ben szinusz- és koszinuszfüggvény-táblát készített. A szinusztzyanak, a koszinusztkotizyanak nevezte, ésotkram zyavolt az inverz szinusz neve, valamint bevezette az 1-cosα függvényt is.
Egy másik indiai matematikus,Brahmagupta628-ban szinusz értékek számításához a később Newton-Stirling formula néven ismerthez hasonló interpolációt használt.
A 10. századbanAbul Wáfaperzsa matematikus és asztronómus bevezette a tangensfüggvényt és a szögfüggvénytáblázatok kiszámításához új módszert talált fel. Felállította a szögösszegezés képleteit, vagyis például sin (a+b)-t, és felfedezte a szinusztételt a gömbi geometriában:
A 10. század végén és a 11. század elejénIbn Yunusegyiptomi asztronómus több igen pontos trigonometriai számítást hajtott végre és bemutatta aösszefüggést is.
Az indiai matematikusok élen jártak az algebra használatában a csillagászati számításoknál, beleértve a trigonometriát is.I. e. 1350-1200körülLagadhavolt az első, aki geometriát és trigonometriát használt a csillagászatban aVedanga Jyotishaművében.Omar Hajjám(1048-1131) perzsa matematikus és költő összekapcsolta a trigonometriát a közelítő számítások elméletével abból a célból, hogy geometriai problémákkal kapcsolatos algebrai egyenleteket oldjon meg.
Hajjám meghatározta aharmadfokú egyenlet pozitív gyökét úgy, hogy egyhiperbolaés egykörmetszéspontját vizsgálta. A megoldáshoz közelítő numerikus eljárást használt, melynek során trigonometrikus táblázatban interpolált.
Az indiaiBhaskara1150-ben részletes módszert közölt arra, hogyan kell szinusz táblázatot szerkeszteni bármely szögre és néhány összefüggést közölt szinusz- és koszinuszfüggvényre. Bhaskara a gömbi trigonometriát is továbbfejlesztette.
ValószínűlegNaszír ad-Dín Túszíperzsa matematikus volt az első a 13. században, aki a trigonometriát önálló matematikai diszciplínaként tárgyalta.
Bartholemaeus Pitiscusmatematikus1595-ben megjelent fontos munkájában használta először a "trigonometria" szót.