Hatáselv

Afizikábanahatáselva mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test pályája meghatározható, illetve akölcsönhatásés átalakulás egyenletei levezethetők. A befutott pálya olyan, amelynek mentén számítotthatásstacionárius, azaz a pálya kis odébbtolására nem változik. Így a pályát nem az erőhatásokra bekövetkező gyorsulások alapján próbáljuk felépíteni, hanem a stacionárius hatás alapján próbáljuk kiválasztani a lehetséges pályák közül.

A legáltalánosabban használt elnevezés alegkisebb hatás elve,de tartalmilag ez az elnevezés nem pontos. Az elvet precízebbenstacionárius hatás elvéneknevezhetnénk, vagy egyszerűenHamilton-elvnek.

A hatás egyskalármennyiség (egy szám),energia×időmértékegységdimenzióval.Az elv egyszerű, általános és hatásos elmélet aklasszikus mechanikamozgásainak leírására. A hatáselv kiterjesztése leírja azelektrodinamikát,relativitáselméletetéskvantumelméletet.

A hatáselv néhány alkalmazása

Bár a klasszikus mechanikában egyenértékű aNewton-törvényekkel,a hatáselv alkalmasabb az általánosításra és fontos szerepet játszik amodern fizikában.Az elv valóban a fizika egyik nagyszerű általánosítása. Különösen akvantummechanikábanlehet értékelni és legjobban megérteni. A kvantummechanikaRichard Feynmanáltal felépítettútintegrál megfogalmazásaa stacionárius hatás elvén alapul. AMaxwell-egyenletekis származtathatók az elvből.

A fizika sok problémája állítható fel és oldható meg a hatáselv formájában, mint például megtalálni a legrövidebb utat a parthoz, hogy elérjünk egy fuldoklót. A dombról lefutó víz a legnagyobb lejtőt keresi, a leggyorsabb utat, egy medencébe folyó víz úgy terül szét, hogy a felszíne a lehető legalacsonyabban legyen. A fény a leggyorsabb utat követi egy optikai rendszeren keresztül (Fermat-elvvagy legrövidebb idő elve). Egy test pályája gravitációs mezőben (azaz szabadesés a téridőben, egy ún.geodézikus vonal) a hatáselv segítségével határozható meg.

A szimmetriák is jobban kezelhetők a hatáselvvel és azEuler–Lagrange-egyenletekkel,amiket szintén a hatáselvből származtatunk. Egy példa erre aNoether-tétel,amelyik kimondja, hogy minden folytonos szimmetria megfelel egymegmaradási törvénynekés megfordítva. Ez a mély kapcsolat megköveteli, hogy a hatáselvet feltételezzük.

A klasszikus mechanikában (nemrelativisztikus, nemkvantumos) a hatás korrekt alakja bizonyítható Newton mozgástörvényeiből. Megfordítva, a korrekt hatásból kiindulva a hatáselv szolgáltatja a Newton-egyenleteket. A hatáselv alkalmazása sokszor egyszerűbb, mint a Newton-törvényeké. A hatáselv egy skalárelmélet, aminek alkalmazásai elemi számításokat igényelnek.

Történeti összefoglaló

Alegkisebb hatás elvételőszörMaupertuisfogalmazta meg[1]1746-ban, majd1748-tól kezdődőenEuler,LagrangeésHamiltonfejlesztette tovább. Maupertuis abból az érzésből vezette le az elvet, hogy azUniverzumtökéletessége megkíván egyfajta gazdaságosságot és nem fér össze semmilyen energiapazarlással. A természetes mozgás olyan kell legyen, ami valamilyen mennyiséget minimalizál. Már csak azt kell kitalálni, melyiket. Ő ezt avis viva-ban, vagyélőerőbentalálta meg, amit mamozgási energiánakhívunk.

Euler munkájában ( "Reflexions sur quelques loix generales de la nature",1748) elfogadta a legkisebb hatás elvét, a mennyiséget "erőfeszítésnek" hívva. Az ő kifejezése megfelel ahelyzeti energiának,azaz a hatáselv astatikábanmegfelel annak az elvnek, hogy a testek olyan helyzetet vesznek fel, amely minimalizálja a teljes helyzeti energiát.

A hatáselv a klasszikus mechanikában

Newton mozgásegyenletét számos módon felállíthatjuk. Az egyik közülük aLagrange-formalizmusvagyLagrange-mechanika.Ha egy részecske pályáját a$t$idő függvényében$x(t)$-vel, sebességét${\dot {x}}(t)$-vel jelöljük, akkor aLagrange-függvényvalószínűleg ezek függvénye, beleértve az explicit időfüggést is:

$L[x(t),{\dot {x}}(t),t]$

AzShatásintegrála Lagrange-függvényidőintegráljat₁időbelix(t₁) pont és at₂időbelix(t₂) között:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[x(t),{\dot {x}}(t),t]\,dt.$

A Lagrange-mechanikában egy részecske pályáját úgy találhatjuk meg, hogy az erre vettShatásintegrál stacionárius (minimum vagy nyeregpont). A hatásintegrál egyfunkcionál(egy függvénytől – esetünkbenx(t)-től – függő függvény). Ha a rendszerben konzervatív erők (potenciállal kifejezhető erők – ilyen például a gravitációs és nem ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor amozgási energiaés ahelyzeti energiakülönbségekéntmegválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet. Megjegyezzük, hogy a mozgási és helyzeti energiaösszegea rendszer teljes energiája.

Euler–Lagrange-egyenletek

Egy pályamenti integrál stacionárius pontja ekvivalens differenciálegyenletek egy együttesével, amiketEuler–Lagrange-egyenleteknekhívunk. A következőkben láthatjuk ezt, ahol egy koordinátára szorítkozunk az egyszerűség kedvéért. A több koordinátára való kiterjesztés egyértelmű.

Tegyük fel, hogy van egyShatásintegrálunkL-en ami az időfüggő koordinátától és időfüggő időderiváltjától függ (x(t) ésdx(t)/dt):

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}})\,dt.$

Tekintsünk egy másikx₁(t) görbét (pályát), ami ugyanabban a pontban kezdődik és végződik, mint az első görbe, és tegyük fel, hogy a két görbe közötti távolság mindenhol kicsi:ε(t) =x₁(t) –x(t) kicsi. A kezdő- és végpontbanε(t₁) =ε(t₂) = 0.

Az első és második görbe mentén vett integrálok különbsége (amitSvariációjánakhívunk):

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(x+\varepsilon,{\dot {x}}+{\dot {\varepsilon }})-L(x,{\dot {x}})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}+{\dot {\varepsilon }}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,dt$

aholL-etεésε′szerint első rendben fejtettük ki. Hajtsunk végreparciális integrálásta második tagon és használjuk ki aε(t₁) =ε(t₂) = 0 feltételeket:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}-\varepsilon {d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,dt.$

Sminden pontban stacionárius, azazδ S= 0 mindenε-ra. Megjegyezzük, hogy lehet szó minimumról, nyeregpontról vagy formálisan maximumról is.

δ S= 0 mindenε-ra, akkor és csak akkor, ha:

${\partial L \over \partial x_{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}_{a}}=0$Euler–Lagrange-egyenletek

Aholx-etx_a-val helyettesítettük (a = 0,1,2,3), mivel a kapott eredménynek minden koordináta esetén igaznak kell lennie. Ezeket az egyenleteket a variációs problémaEuler–Lagrange-egyenleteinekhívjuk. Az egyenleteknek egy fontos egyszerű következménye, hogy haLnem függ explicit módonx-től (azazxún.ciklikus koordináta), azaz:

ha${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$,akkor${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}$állandó.

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}$-nakkonjugált impulzusa neve és ebben az esetben ezmegmaradó mennyiség.Hagömbi polárkoordinátákathasználunk (t, r, φ, θ) ésLnem függφ-től, akkor a konjugált impulzus a megmaradóimpulzusmomentum.Hasonló módon levezethető, hogy explicit időfüggés hiányában azenergiamegmaradó mennyiség, de ezt nem nevezhetjük az idő konjugált impulzusának.

Afunkcionálanalízisformalizmusában az Euler–Lagrange-egyenletek egyszerűen így fejezhetők ki:

${\frac {\delta S}{\delta x_{i}(t)}}=0$.

Példa: Szabad részecske polárkoordinátákban

Triviális példák megtanítanak értékelni a hatáselvet és az Euler–Lagrange-egyenleteket. Egy szabad részecske (mtömeggel) azEuklideszi térbenegyenes vonalú egyenletes mozgást végez (vsebességgel). Polárkoordinátákban ez a következő módon mutatható meg. Potenciál hiányában a Lagrange-függvény egyszerűen a mozgási energia:

${\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)$

ortonormált (x,y) koordinátákban, ahol a pont a görbeparaméter (általában atidő) szerinti deriválást jelöl. Polárkoordinátákban (r,φ) a mozgási energia és így a Lagrange-függvény:

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).$

Azrsugár és a φ polárszög Euler–Lagrange-egyenletei:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.$

A két egyenlet megoldása:

$r\cos \varphi =at+b$

$r\sin \varphi =ct+d$

ahol aza, b, c, dkonstansok értékét a kezdeti feltételek határozzák meg. A megoldás tényleg egy egyenes vonal, polárkoordinátákban.