Proth-számok

Aszámelméletterületén aFrançois Prothmatematikusról elnevezettProth-számoka következő alakban felírható egész számok:

$N=k\cdot 2^{n}+1$,

ahol$k$pozitív egészpáratlan számés$n$pozitív egész, amire$2^{n}>k$.Ez utóbbi feltétel nélkül az összes 1-nél nagyobb páratlan szám Proth-szám lenne.

Az első néhány Proth-szám (A080075sorozat azOEIS-ben):

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, etc.

ACullen-számok(n·2ⁿ+1) és aFermat-számok(2²ⁿ+1) mind a Proth-számok speciális esetei.

Proth-prímek

A matematika megoldatlan problémája: Létezik-e végtelen sok Proth-prím? (A matematika további megoldatlan problémái)

AProth-prímekolyan Proth-számok, melyekprímek.Az első néhány Proth-prím: ( A080076):

3,5,13,17,41,97,113,193,241,257,353,449,577,641,673,769,929,1153,1217,1409,1601,2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

A Proth-számokprímtesztjeaProth-tételsegítségével végezhető el, mely kimondja,hogy egy$p$Proth-szám akkor és csak akkor prím, ha létezik olyan$a$egész szám, amire a következő állítás igaz:

$a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}$

A legnagyobb ismert Proth-prím (2018)$10223\cdot 2^{31172165}+1$,ami 9 383 761 jegyű.Szabolcs Péter találta aPrimeGridelosztott számítási projektkeretében, 2016. november 6-án jelentették be.Ez a legnagyobb ismert nem-Mersenne-prím.

Kapcsolódó szócikkek

• Sierpiński-számok
• PrimeGrid– elosztott számítási projekt nagy Proth-prímek keresésére