Trigonometria

Atrigonometria(azógörögτρίγωνος /trigonosz– "háromszög", és μέτρον /metron– "mérés" szavakból) amatematikaegy ága, mely ageometriábanaháromszögekoldalai és szögei közötti összefüggésekkel, az analízisben az őket leírótrigonometrikus függvényekkelfoglalkozik. A trigonometria feladatai közé tartozik ezek tulajdonságainak vizsgálata és az ezeken alapuló számítások. A gömbi háromszögeket agömbi trigonometriaírja le. A gömbi szögfüggvények is a szögfüggvények közé tartoznak; ugyanúgy elemzik és felhasználják őket, mint a többit. A hiperbolikus geometriából származtathatók a hiperbolikus szögfüggvények.

A közönséges, gömbi és hiperbolikus szögfüggvények mind bevezethetők analitikus úton is. Vizsgálatukkal a geometriából eredeztethető trigonometria az analízis részévé válik.

Szögfüggvények értelmezése a derékszögű háromszögben

Szögfüggvények értelmezése az egységsugarú körben

Szinusz- és koszinuszfüggvény

Alapelvek

Két derékszögű háromszöghasonlóságátteljesen meghatározza egyik hegyesszögük nagysága. Ha az egyik hegyesszög mindkét háromszögben egyenlő (ekkor a másik hegyesszögük is egyenlő egymással), akkor hasonlóak, így oldalaik aránya megegyezik. Ha az egyik háromszögben bármelyik két oldalhosszt elosztjuk egymással, a hányados ugyanakkora, mint a másik háromszög megfelelő két oldalhosszának hányadosa. Ezeket az arányokat hagyományosan az ismert (példáulαszög) szögfüggvényeivel írják le:

• Aszinuszfüggvény (sin) az α szöggel szemben lévőabefogó és acátfogó hányadosa,
• Akoszinuszfüggvény (cos) az α szög mellettibbefogó és acátfogó hányadosa,
• Atangensfüggvény (tg, tan) az α szöggel szemben lévőabefogó és a szög mellettibbefogó hányadosa.

Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben.

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}},$$\cos \alpha ={\frac {b}{c}},$$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

A függvények reciprokaitkoszekáns(csc),szekáns(sec), illetvekotangens(ctg) néven hívjuk. A koszekáns a szinusz, a szekáns a koszinusz, míg a kotangens a tangens reciproka. Az inverz trigonometrikus függvények:arkuszszinusz(arc sin),arkuszkoszinusz(arc cos) ésarkusztangens(arc tg). Ezek között a függvények között fennálló összefüggések atrigonometriai összefüggések.

Ezekkel a függvényekkel egy három adatával meghatározott tetszőleges háromszög hiányzó méretei (oldalhosszúságai és szögei) kiszámíthatók aszinusztételés akoszinusztételsegítségével. Ezek az összefüggések használhatók a geometria minden területén, mivel minden sokszög véges számú háromszögre bontható.

A fenti definíciók csak 0 és 90° között (0 és π/2radiánközött) értelmezhetők. Az egységsugarú kört alkalmazva a definíció kiterjeszthető az összes pozitív és negatív argumentumra (l.trigonometrikus függvények). A trigonometrikus függvényekperiodikus függvények,180° (π radián) vagy 360° (2π radián) periodicitással. Ez azt jelenti, hogy ismétlődnek a fenti értékekkel.

Számolás trigonometrikus függvényekkel

A trigonometrikus függvényekről az elsők között készültekmatematikai táblázatok.Ilyen függvénytáblákat matematikai segédkönyvként használták a tanulók, akik megtanulták azt is, hogyan kellinterpolációthasználni a táblázatban elérhetőnél nagyobb pontosság elérésére. Alogarlécszintén tartalmazott egy vagy több skálát a szögfüggvények használatához.

Manapság a tudományoszsebszámológépekena megfelelő gomb lenyomásával érhetők el a szögfüggvények (sin, cos és tg) és inverz függvényeik. A függvények argumentuma akár fok, akár radián lehet. A legtöbb számítógépesprogramnyelvrendelkezik függvénykönyvtárakkal, melyek többek között szögfüggvényeket is tartalmaznak. Olyan interaktív számítógépes eszközök, mint például aMicrosoft Excel,szintén támogatják a szögfüggvényeket. Aszemélyi számítógépekmikroprocesszoránaklebegőpontosegysége beépített utasításkészlettel rendelkezik szögfüggvények számításához.

A trigonometria korai története

A Plimpton 322 számú tábla a püthagoraszi számhármasokkal

A trigonometria táblája,Cyclopaedia,1728.

A trigonometriát valószínűlegasztronómiaicélokra találták fel. A trigonometria kezdeteit azókori Egyiptom,Mezopotámiaés azIndus-völgyi civilizációiglehet követni több, mint 4000 évvel ezelőttig. Afokokban,percekbenésmásodpercekbentörténő szögmérés ababilonihatvanas számrendszerbőlered.Edgar Banksmég a 20. század elején talált egy táblát, ahol a püthagoraszi számhármasokat írták le. Ezt sokáig nem tudták értelmezni a történészek, de valószínűsíthetően alkalmazott geometriai feladatokat oldottak meg vele.

A trigonometria szögfüggvényes alkalmazása ahellenizmuskorában éltgörögmatematikustól,Hipparkhosztólszármazik kb. i. e. 150-ből, aki függvény táblát készített a szinuszfüggvényre háromszögek számításához.Ptolemaiosztovábbfejlesztette a trigonometriai számításokat i. sz. 100 körül.

AzIndiábanírtSulba Sutráki. e. 800 és i. e. 500 között pontosan számolta ki a sinπ/4 (45°) értékét, melyet 1/√2-ként adott meg.

Az ókoriszingalézek,amikor víztározókat építettekAnuradhapurakirályságban, trigonometriát használtak a vízáram gradiensének számításához.

Árjabhataindiai matematikus 499-ben szinusz- és koszinuszfüggvény-táblát készített. A szinusztzyanak, a koszinusztkotizyanak nevezte, ésotkram zyavolt az inverz szinusz neve, valamint bevezette az 1-cosα függvényt is.

Egy másik indiai matematikus,Brahmagupta628-ban szinusz értékek számításához a később Newton-Stirling formula néven ismerthez hasonló interpolációt használt.

A 10. századbanAbul Wáfaperzsa matematikus és asztronómus bevezette a tangensfüggvényt és a szögfüggvénytáblázatok kiszámításához új módszert talált fel. Felállította a szögösszegezés képleteit, vagyis például sin (a+b)-t, és felfedezte a szinusztételt a gömbi geometriában:

${\frac {\sin(\alpha )}{\sin(a)}}={\frac {\sin(\beta )}{\sin(b)}}={\frac {\sin(\gamma )}{\sin(c)}}$

A 10. század végén és a 11. század elejénIbn Yunusegyiptomi asztronómus több igen pontos trigonometriai számítást hajtott végre és bemutatta a$\cos(a)\cos(b)=(1/2)[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$összefüggést is.

Az indiai matematikusok élen jártak az algebra használatában a csillagászati számításoknál, beleértve a trigonometriát is.I. e. 1350-1200körülLagadhavolt az első, aki geometriát és trigonometriát használt a csillagászatban aVedanga Jyotishaművében.Omar Hajjám(1048-1131) perzsa matematikus és költő összekapcsolta a trigonometriát a közelítő számítások elméletével abból a célból, hogy geometriai problémákkal kapcsolatos algebrai egyenleteket oldjon meg.

Hajjám meghatározta a$x^{3}+200x=20x^{2}+2000$harmadfokú egyenlet pozitív gyökét úgy, hogy egyhiperbolaés egykörmetszéspontját vizsgálta. A megoldáshoz közelítő numerikus eljárást használt, melynek során trigonometrikus táblázatban interpolált.

Az indiaiBhaskara1150-ben részletes módszert közölt arra, hogyan kell szinusz táblázatot szerkeszteni bármely szögre és néhány összefüggést közölt szinusz- és koszinuszfüggvényre. Bhaskara a gömbi trigonometriát is továbbfejlesztette.

ValószínűlegNaszír ad-Dín Túszíperzsa matematikus volt az első a 13. században, aki a trigonometriát önálló matematikai diszciplínaként tárgyalta.

Bartholemaeus Pitiscusmatematikus1595-ben megjelent fontos munkájában használta először a "trigonometria" szót.

Kapcsolódó szócikk

• Trigonometrikus egyenlet