Taylor-sor

A Taylor-sorfejtés lehetőséget ad arra, hogy a függvényeket első, másod,… sokadfokú polinomokkal közelítsük. Az ábrán asin(x)függvény hatványsorba fejtései láthatóak n =1,3,5,7,9,11és13fokig bezárólag. A13-ad fokú Taylor-polinom – a képfelbontás hibahatárán belül – a szinuszfüggvénynek már csaknem másfél teljes periódusát előállítja. Végtelen határátmenetben a Taylor-sor egybeesik a szinuszfüggvénnyel.

AmatematikábanTaylor-sornak nevezünkhatványfüggvényeknekegy speciális alakúfüggvénysorát.A Taylor-sorokhatárértékbengyakran előállítanak bonyolultabb függvényeket (például trigonometrikus vagy hiperbolikus függvényeket), melyek közelítő értékei így pusztánhatványozássalkiszámíthatók. A függvények Taylor-sor alakjában történő felírását a függvényekhatványsorba fejtésének nevezzük.

Definíciók

Legyen

$\sum (c_{n}\cdot (x-a)^{n})$

azapont körülivalós(vagykomplex)hatványsorés legyen ennek konvergenciatartománya a valós (vagy komplex) számokVrészhalmaza.Azt mondjuk, hogy ∑(c_n(x-a)ⁿ)Taylor-sor,ha létezik olyanf,azapont egykörnyezeténértelmezett, azapontbanvégtelenszer differenciálható(valós vagy komplex) függvény, hogy mindennnemnegatív egész számra

$c_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}$,

ahol$f^{(n)}(a)$azffüggvénya-belin-edikderiváltjátjelöli (vagyis a megállapodás szerintf⁽⁰⁾=f,f⁽¹⁾=f ',f⁽²⁾=f ",…),n!pedig aznszámfaktoriálisa.

Azaz a ∑ ( c_n(x-a)ⁿ)Taylor-sor összegfüggvénye(T) minden egyesx∈Vpontban:

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Úgy is szokás fogalmazni, hogy a fenti sor azf függvényaponthoz tartozó Taylor-sora.Ebben az esetben azffüggvényapont körüli Taylor-sorának összegfüggvényét

$T_{a}^{f}$

jelöli.

Amennyiben a hatványsor középpontja 0, azaz a sorösszeg

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$,

akkor a Taylor-sort mégMacLaurin-sornak is nevezzük.

Példák, motiváció

Végtelenszer differenciálható függvények Taylor-sorai adott esetben előállítják magát a függvényt.

Polinomfüggvények

Tekintsük az

$f(x)=x^{2}+2x+1\,$

valós függvényt, és határozzuk meg a$0$körüli Taylor-sorának együtthatóit!

$c_{0}={\frac {f^{(0)}(0)}{0!}}={\frac {f(0)}{1}}=1$

$c_{1}={\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}={\frac {f'(0)}{1}}=2$

$c_{2}={\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}={\frac {f''(0)}{2}}=1$

$c_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}=0$,ahol$n>2$.

A függvény$0$körüli Taylor-sora tehát:

$1+2\cdot x+1\cdot x^{2}+0+...$,

vagyis a függvény Taylor-sorának összegfüggvénye egyenlő magával a függvénnyel.

Ez minden polinomfüggvényre is igaz.

Polinomfüggvény 0-hoz tartozó Taylor-sorának összegfüggvénye előállítja magát a polinomot (ugyanazokkal az együtthatókkal). Jelben, ha P a polinomfüggvény, akkor T₀^P= P.

Hatványsorok

Tekintsük a

$\sum (b_{n}(x-a)^{n})$

hatványsorPösszegfüggvényét és Taylor-sorának együtthatóit!

$c_{0}={\frac {P^{(0)}(a)}{0!}}={\frac {P(a)}{1}}=b_{0}\cdot 0^{0}=b_{0}\cdot 1=b_{0}$

$c_{1}={\frac {P^{(1)}(a)}{1!}}={\frac {\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}\cdot (x-a)^{n}\right)'|_{x=a}}{1}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}\cdot (x-a)^{n}\right)'|_{x=a}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}\cdot n\cdot (x-a)^{n-1}|_{x=a}=b_{1}$

$c_{2}={\frac {P''(a)}{2!}}={\frac {\sum \limits _{n=2}^{\infty }b_{n}\cdot n(n-1)\cdot (x-a)^{n-2}|_{x=a}}{2}}=b_{2}$

…

$c_{n}=b_{n}\,$.

A fenti számításnál felhasználtuk a függvénysorok (illetve a hatványsorok) deriválására vonatkozó összefüggést, vagyis azt, hogy (a tétel feltételeinek megfelelő esetben) a szumma és a deriválás felcserélhető.

Végül azt kaptuk, hogy

Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort: T_a^P= P.

Elemi függvények

Nézzük példaként az ábrán már látott szinuszfüggvényt. Ennekn-edik deriváltjai:

$\sin ^{(0)}(0)=0\,$

$\sin ^{(1)}(0)=1\,$hiszen$\sin '(0)=\cos(0)=1\,$

$\sin ^{(2)}(0)=0\,$hiszen$\sin ''(0)=-\sin(0)=0\,$

$\sin ^{(3)}(0)=-1\,$hiszen$-\cos(0)=-1\,$

$\sin ^{(4)}(0)=0\,$hiszen$\sin(0)=0\,$

$\vdots$

$\sin ^{(4k+r)}(0)=0\,$,harpáros;$1\,$,har= 1; és$-1\,$,har= 3.

Azaz a Taylor-sor összegképlete:

$\sin(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

Nem elemi függvények

Vannak olyan függvények, melyek ugyan végtelenszer differenciálhatóak, de nem lehet őketelemi függvényeksegítségével kifejezni (azaz sem hatványfüggvényekkel, sem exponenciális függvényekkel sem trigonometrikus, vagy hiperbolikus függvényekkel illetve ezek inverzeivel nem kifejezhetők). Ilyenkor hasznos megoldásnak tűnik a Taylor-sorfejtés.

Példa.Tekintsük a (0,1] intervallumon értelmezett

$f(x)={\frac {\sin x}{x}}$

függvényt, illetve ennek [0,1]-re történőegyenletesen folytonoskiterjesztését (f(0):= 1). Ismeretes, hogy azffüggvényFintegrálfüggvényétnem lehet zárt alakban kifejezni (vagyis az integrál vagy a szumma jel nélkül). Azonban a szinuszfüggvény Taylor-sorát felhasználva írhatjuk, hogy rögzítettx∈ (0,1]-re

${\frac {\sin x}{x}}={\frac {1}{x}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}$

A sor x=0-ban is konvergens és összege 1, ígyegyenletesen konvergensis ezért

$F(t)=\int \limits _{0}^{t}{\frac {\sin x}{x}}\;dx=\int \limits _{0}^{t}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}\;dx=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{t}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}dx=$

$=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{\frac {t^{2n+1}}{2n+1}}.$

A számítás során felhasználtuk a függvénysorok integrálására vonatkozó tételt, mely szerint az összegzés és az integrálás felcserélhető.

Taylor-tétel

A Taylor-tétel arról tesz megállapítást, hogy mennyire tér el a Taylor-sorba fejtett függvény a sor n-edik tagjától, vagyis a

$T_{a,n}^{f}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

úgy nevezettTaylor-polinomtól.

Tétel–Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal– Ha azfvalós-valós függvény (n+1)-szer differenciálható az értelmezési tartománya belsejének egyapontja körüliIintervallumban, akkor tetszőleges,I-belixponthoz létezik azaésxközött olyan$\xi \,$szám, amire:

$f(x)-T_{a,n}^{f}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

Alkalmazásai

Alkalmazásai a fizikában

A fizikában Taylor-sorfejtést akkor alkalmaznak, ha egyAfizikai mennyiség (valamilyen hatás miatti) megváltozása nagyságrendekkel kisebb, mint maga a mennyiség. Ekkor azoknak a függvényeknek a megváltozása, melybenAszerepel jól közelíthető a sor néhány első tagjával.

Példa.Egy kis kitérésűfonálingalengési periódusa a hossza függvényében:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

aholga gravitációs gyorsulás. A hőmérséklet változásával az eredetilfonalhosszúságdl-lel megnövekszik, mely kis hőmérsékletkülönbség esetén sokkal kisebb mint magal.Ekkor a periódusidő:

$T(l+dl)=2\pi {\sqrt {\frac {l+dl}{g}}}=2\pi {\sqrt {{\frac {l}{g}}(1+{\frac {dl}{l}})}}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}{\sqrt {1+x}}$

ahol adl / lhányadostx-szel jelöltük. Mivel a Taylor-sor:

${\sqrt {1+x}}\approx 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+...,$

ezért a sorfejtésben az első nem konstans tagig elmenve a periódusidő hosszúságváltozásfüggése:

$T(l+dl)\approx 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {dl}{l}}\right)=T(l)+T(l){\frac {1}{2}}{\frac {dl}{l}}.$

Vagyis a periodusidő megváltozása jó közelítéssel:

$dT\approx {\frac {1}{2}}{\frac {T(l)}{l}}dl.$

Példa.Tegyük fel, hogy egy testet egyensúlyából kitérítve az eredeti helye közelében kis rezgéseket végez az egyensúlyi hely közelében ható valamely ismeretlenFvisszatérítő erő hatására. Határozzuk meg a test mozgását és a helyzeti energiát. Az U(x) helyzeti energiát (potenciált) hatványsorba fejtjük az x = 0 kitérésű hely körül:

$U(x)=U(0)+\left.{\frac {dU}{dx}}\right|_{x=0}\cdot x+\left.{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}U}{dx^{2}}}\right|_{x=0}\cdot x^{2}+...$

Elegendően kis kitérítés esetén jó közelítést ad, ha csak a Taylor-sor első tagjait vesszük figyelembe. Az előző példával ellentétben azonban az első nem konstans tag nem a sor második tagja lesz, hanem a harmadik, éspedig a következő fizikai indokokból. Mivel a test az x = 0 kitérésű helyen egyensúlyi állapotban van, ezért ott az energia minimális, azaz az U'(0) = dU / dx|_x=0derivált 0. Az mozgást létrehozó energia tehát:

$\Delta U(x)\approx \left.{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}U}{dx^{2}}}\right|_{x=0}\cdot x^{2}={\frac {1}{2}}Dx^{2}$

vagyis aharmonikus rezgőmozgásenergiája. (Természetesen ehhez további anharmonikus tagok is járulhatnak, de ezek rendszerint kisebb hatást jelentenek.)

Néhány elemi függvény Taylor-sora

A szinuszfüggvény (kék) görbéjét a 0 körüli hetedfokú Taylor-polinomja már olyan jól közelíti, hogy a görbét csaknem egy teljes periódusra kb. 0.001 pontosságra előállítja.

Az alábbi függvényeket a 0 pont körül fejtettük Taylor-sorba.

Exponenciális és logaritmusfüggvény:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ahol x ∈R

$\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)}}x^{n+1}$ahol |x| < 1

Mértani sor:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}$ahol |x| < 1

Binomiális sor:

$(1+x)^{\ Alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\ Alpha \choose n}x^{n}$ahol |x| < 1 és α ∈C

Trigonometrikus függvények:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$ahol x ∈R

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$ahol x ∈R

$\mathrm {tg} \;x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+...$ahol |x| < π/2

ahol aB-k aBernoulli-számok.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ahol |x| < π/2

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ahol |x| < 1

$\mathrm {arctg} \;x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$ahol |x| < 1

Hiperbolikus függvények:

$\mathrm {sh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$ahol x ∈R

$\mathrm {ch} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}$ahol x ∈R

$\mathrm {th} \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ahol |x| < π/2

$\mathrm {arsh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ahol |x| < 1

$\mathrm {arth} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ahol |x| < 1