Area

Area
subclasse de:definite integral[*],grandor physic,ISQ derived quantity[*],scalar[*],area[*],geometric measure[*]
precedite per:longitude,succedite per:volumine
Commons:Area

In geometria,areaes le quantitate physic que expressa le dimension de un parte de unsuperficieo unplano.Esse le analogo duodimensional delongitudede systemas monodimensional, e devoluminede systemastridimensional.Pro un superfacie duodimensional, on pote imaginar que le area esse le amonta de material de un spissitate constante que esse requirite que coperir celle superfacie.

Pro le majoritate deformas geometric,il ha un o plusformulasexistente. Per combinar iste formulas, on pote derivar le area de ulle polygono; per exemplo, per letriangulation del polygono.Pro formas con limites que curva, on pote usarcalculopro computar le area. Le necessitate de determinar le area de figuras planar esseva un impeto pro ledisvellopamento del calculo.

Pro formas tridimensional, como unspherao uncono,le area de su limite esse nominate learea del superfacie.Formulas pro le areas del superfacie de formas simple esseva computate perGrecia antique.Hodie, iste methodos ha essite expandite concalculo multivariabile,que pote calcular le area de formas complexe.

In mathematica moderne, area prende un rolo importante. Extra de su importantia in calculo egeometria,le definition de area esse relate al definition deldeterminanteinalgebra linear,e esse un characteristica basic de superfacies ingeometria differential.Inanalyse,le area de un subensemble de un plan se defina con lemensura de Lebesgue(ben que se debe notar que il non pote mensurar cata subensemble del plan). Additionalmente, on pote definar le area como un caso special devolumenpro regiones duodimensional.

Historia

Un depiction del methodo de Archimedes. Le area del triangulo esse un calculation facile. Como le numero de triangulos se cresca a infinitate, le dimension del error falle a zero.

Le idea que on pote describer le area de un figura con un valor abstracte esse un idea ancian. In leseculo 19 aEC,leegyptianos antiquehabeva formulas pro calcular le area deltriangulo,rectangulo,ecirculo(usante${\frac {256}{81}}$como su approximation depi). SecundoHerodoto,le egyptianos lo usava proagrimensura,pro refacer parcellas de terra post que le inundation annual delNilo.

In leseculo 5 aEC,legrecoAntiphonproponeva un algorithmo pro calcular le area de un polygono como le summation de un serie de areas triangular. ConBryson de Heracleae iste algoritho de derivar le area de un polygono, il approximava un limite basse pro le area de un circulo; il inscribeva un polygono in un circulo, calculava le area, e postea duplicava le numero de lateres. Iste "methodo de exhaustion"esseva usate perEudoxo de Cnidoin leseculo 4 aECpro crear un formula pro le area de un circulo. Con isto,Archimedespoteva approximarpiin leseculo 3 aEC); antea in le mesme seculo,Euclidusava le methodo de exhaustion pro discoperir characteristicas deconos,circulos,spheras,tetrahedros,ecylindrosin suElementos.

In leseculo 9,al-Khwarizmiscribeva un libro re algebra e geometria. Su libro, leLibro Compendiose re Calculation per Completion e Balanciamento(traducite leseculo 12allatinocomoLiber Algebrae et Almucabola), non solmente dava su nomine alalgebra,ma etiam introduceva conceptos importante re area. In illo, il introduceva lequadrato unitari,un unitate de area definate como un construction mathematic sin ulle representation physic.

Le expansion del methodo de exhaustion al calculo initiava in leseculo 14.Le mathematicoindianMadhavascribeva leYuktibhasa,le prime texto re que nos pote recognoscer comocalculomoderne, in que il describeva area como le integration del formula de un curva. LePrincipia MathematicaperNewtone le obras deLeibnizin leseculo 17finalisava le integral como esse inseniate hodie.

Unitates de area

Le area de un circulo es su radio quadrate multiplicate per π

Articulo principal:Unitate de area

Le unitate de areaSIesse lemetro quadrate(m²).Esse considerate ununitate derivate.

Cataunitate de longitudeesse le base de un unitate de area correspondente. Algebraicamente, iste pote esser describite como lequadratodel unitate de longitude basse. Ergo, on pote mensuar areas non solmente in metros quadrate, ma etiam incentimetrosquadrate (cm²),millimetrosquadrate (mm²),kilometros quadrate(km²),pedesquadrate (ft²),pollicesquadrate (in²),yardesquadrate (y²), emilliasquadrate (mi²).

Altere unitates de area commun include lear(100m²), lehectar(100ar, o 10000m²), e leacre(4840 y²). Iste tres unitates esse usate casi solmente pro mensurarterra.

Approximation de areas irregular

Le areas de formas irregular pote esser approximate per facer unseriede approximation, in que le area del forma irregularF(le linea nigre) esse plus que un area internal (le area azur,n_i) e le area external (le area verde,n_e): ergo,n_i≤F≤n_e.Quando le exactitude den_ien_ese meliora, le extension intern_ien_ediminue, usque infinitate.

Eventualmente esseva condensate rigorosemente comocalculo,le branca de mathematica que se tracta re areas e lineas.

Lista de formulas

Infra il habe un lista deformulaspro formas commun. Ben que on pote dicer que se existe un infinitate de formulas pro formulas irregular, le majoritate de iste formulas esse componite de combinationes de iste.

In le formulas que seque:

• d = diametro
• h = altitude
• l = longitude
• r = radio
• s = longitude de un latere
• w = largor
• bh = base multiplicate per altitude

Formulas commun pro area:

Forma	Formula	Variabiles
Triangulo equilateral Triangulo regular	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$
Triangulo	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$esse un medie del perimetro $a$,$b$e$c$esse le longitude de cata latere.
Triangulo	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$e$b$esse ulle duo lateres $C$esse le angulo inter le duo lateres.
Triangulo	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$esse lebase $h$esse lealtitudecomo mensurate per un linea perpendicular al base.
Quadrato	$s^{2}\,\!$	$s$esse le longitude de ulle latere del quadrato.
Rectangulo	$lw\,\!$	$l$e$w$esse le longitudes del lateres del rectangulo (longitude e largessa).
Rhombo	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$e$b$esse le longitudes del lateres del duodiagonalesdel rhombo.
Parallelogramma	$bh\,\!$	$b$esse le longitude del base $h$esse le altitude perpendicular.
Trapezio	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$e$b$esse le lateres parallel, e$h$esse le distantia inter le paralleles.
Hexagonoregular	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$esse le longitude de ulle latere del hexagono.
Octagonoregular	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!$	$s$esse le longitude de ulle latere del octagono.
Polygonoregular	${\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!$	$s$esse le logitude del latere $n$esse le numero de lateres.
	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$esse leapothemo,o le radio de un circulo inscribite in le polygono. $p$esse le perimetro del polygono.
Circulo	$\pi r^{2}\ {\text{o}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$esse le radio. desse lediametro.
Sector circular	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$esse le radio. $\theta$esse le angulo (mensurate inradianos).
Ellipse	$\pi ab\,\!$	$a$esse leaxe semimajor. .$b$esse leaxe semiminor.
Area del superfacie de uncylindro	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$esse le radio. $h$esse le altitude.
Area del superfacie de un latere de un cylindro	$2\pi rh\,\!$	$r$esse le radio. $h$esse le altitude.
Area del superfacie de uncono	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$esse le radio. $l$esse lealtitude del inclination.
Area lateral del superfacie de un cono	$\pi rl\,\!$	$r$esse le radio. $l$esse le altitude del inclination.
Area del superfacie de unsphera	$4\pi r^{2}\ {\text{o}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$esse le radio. desse le diametro.
Area del superfacie de unPyramide	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	Besse le area del base. $P$esse le perimetro del base. $L$esse le altitude del inclination.
Conversion del area quadrate al circular	${\frac {4}{\pi }}A\,\!$	$A$esse le area del quadrato, in unitates quadrate.
Conversion del area circular al quadrate	${\frac {1}{4}}C\pi \,\!$	$C$esse le area del circulo in unitates circular.

Vide etiam

• Integration
• Perimetro
• Unitate de area
• Volumine

Ligamines externe

• (anglese)Weisstein, Eric W.Area.Mathworld: 2011.