Hukum gerak Euler

Dalammekanika klasik,hukum gerak Euler(Bahasa Inggris:Euler's Laws of Motion) adalah persamaan gerak yang memperluashukum gerak Newtonuntukpartikel titikke gerakbenda tegar.^[1]Hukum ini dirumuskan olehLeonhard Eulersekitar 50 tahun setelahIsaac Newtonmerumuskan hukum-hukumnya.

Ikhtisar

Hukum pertama Euler

Hukum pertama Eulermenyatakan bahwa laju perubahanmomentum linierpdari sebuah benda tegar sama dengan resultan semua gaya eksternalF_extyang bekerja pada benda tersebut.^[2]

$F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

Gaya internal antar partikel yang membentuk sebuah benda tidak berkontribusi dalam mengubah momentum benda karena ada gaya yang sama dan berlawanan sehingga tidak ada efek bersih.^[3]

Momentum linier benda tegar adalah hasil kali antara massa benda dan kecepatanpusat massanya,v_cm.^[1]^[4]^[5]

Hukum kedua Euler

Hukum kedua Eulermenyatakan bahwa laju perubahanmomentum sudutLterhadap suatu titik yang ditetapkan dalamkerangka acuan inersia(sering kali merupakan pusat massa benda), sama dengan jumlah momen gaya eksternal (torsi) yang bekerja pada bendaMterhadap titik tersebut.^[1]^[4]^[5]

$\mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}$

Perhatikan bahwa rumus di atas hanya berlaku jikaMdanLdihitung terhadap kerangka inersia tetap atau kerangka yang sejajar dengan kerangka inersia tetapi tetap pada pusat massa. Untuk benda tegar yang bertranslasi dan berotasi hanya dalam dua dimensi, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.^[6]

$\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }}$

dimana:

r_cmadalah vektor posisi pusat massa benda terhadap titik dimana momen dijumlahkan,
a_cmadalah percepatan linier pusat massa benda,
madalah massa benda,
αadalahpercepatan sudutbenda, dan
Iadalahmomen inersiabenda terhadap pusat massanya.

Penjelasan dan turunan

Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur olehhukum gerak kedua Newtontentang kekekalanmomentum linierdanmomentum sudut,dimana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalammekanika kontinummenjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebuthukum gerak Euler.^[7]

Gaya total benda yang diterapkan pada benda kontinu dengan massam,massa jenisρ,dan volumeV,adalahintegral volumeyang diintegrasikan pada volume benda:

$\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$

dimanabadalah gaya yang bekerja pada benda per satuan massa (dimensipercepatan, yang secara keliru disebut "gaya benda" ), dandm = ρ dVadalah elemen massa benda yang sangat kecil.

Gaya benda dan gaya kontak yang bekerja pada benda menyebabkan momen (torsi) yang sesuai dari gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik tertentu. Dengan demikian, torsi total yang diterapkanMtentang titik asal berasal dari:

$\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}$

dimanaM_BdanM_Cmasing-masing menunjukkan momen yang disebabkan oleh benda dan gaya kontak.

Dengan demikian, jumlah semua gaya dan torsi yang diterapkan (sehubungan dengan asal sistem koordinat) yang bekerja pada benda dapat diberikan sebagai jumlah volume danintegral permukaan:

$\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$

$\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV$

dimanat=t(n) disebuttraksi permukaan,diintegrasikan di atas permukaan benda, dimananmenunjukkanvektor satuannormal dan diarahkan ke luar permukaanS.

Misalkan sistem koordinat $(x_{1},x_{2},x_{3})$ adalahkerangka acuan inersia,radalah vektor posisi partikel titik dalam benda kontinu sehubungan dengan asal sistem koordinat, danv= ${dr \over dx}$ adalah vektor kecepatan dari titik tersebut.

Aksioma atau hukum pertama Euler(hukum keseimbangan momentum linier atau keseimbangan gaya) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum linierpdari bagian sembarang benda kontinu sama dengan total gaya yang diterapkanFyang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}$

Aksioma atau hukum kedua Euler(hukum keseimbangan momentum sudut atau keseimbangan torsi) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum sudutLdari bagian sembarang benda kontinu sama dengan torsi total yang diterapkanMyang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}$

dimanavadalah kecepatan,Vadalah volume, dan turunan daripdanLadalahturunan material.

Lihat juga

Daftar hal-hal yang dinamai dari Leonhard Euler

Referensi

^^a ^b ^cMcGill, David J.; King, Wilton W.; McGill, David J.; McGill, David J. (1995).Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics.PWS series in engineering (edisi ke-3. ed). Boston: PWS Publ: ITP.ISBN 978-0-534-93399-9.Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
^"Equations of motion for a rigid body".emweb.unl.edu.Diakses tanggal2024-02-24.
^Gray, Gary L.; Costanzo, Francesco; Plesha, Michael E. (2010).Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha(edisi ke-SI ed). Boston, Mass.: McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-282871-9.Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
^^a ^bEuler(dalam bahasa Inggris).
^^a ^bRao, Anil V.; Rao, Anil Vithala (2006).Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach(edisi ke-1. publ). New York: Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-85811-3.
^Ruina, Andy: Rudra Pratap (2002).Introduction to Statics and Dynamics(PDF).Oxford University Press.
^Lubliner, Jacob (2008).Plasticity theory.Dover books on engineering (edisi ke-Dover ed., rev. and corr. republ). Mineola: Dover Publ.ISBN 978-0-486-46290-5.

[:0-1] McGill, David J.; King, Wilton W.; McGill, David J.; McGill, David J. (1995).Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics.PWS series in engineering (edisi ke-3. ed). Boston: PWS Publ: ITP.ISBN 978-0-534-93399-9.Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)

[2] "Equations of motion for a rigid body".emweb.unl.edu.Diakses tanggal2024-02-24.

[3] Gray, Gary L.; Costanzo, Francesco; Plesha, Michael E. (2010).Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha(edisi ke-SI ed). Boston, Mass.: McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-282871-9.Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)

[:1-4] Euler(dalam bahasa Inggris).

[:2-5] Rao, Anil V.; Rao, Anil Vithala (2006).Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach(edisi ke-1. publ). New York: Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-85811-3.

[6] Ruina, Andy: Rudra Pratap (2002).Introduction to Statics and Dynamics(PDF).Oxford University Press.

[7] Lubliner, Jacob (2008).Plasticity theory.Dover books on engineering (edisi ke-Dover ed., rev. and corr. republ). Mineola: Dover Publ.ISBN 978-0-486-46290-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]