Luas

Luas
Simbol umum	A
Satuan SI	Meter persegi[m2]
Dalamsatuan pokok SI	1m2

Luasataukeluasan(bahasa Inggris:area) adalah besaran yang menyatakanukuranduadimensi(dwigatra) suatu bagianpermukaanyang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi olehkurvatertutup.Luas permukaanmenyatakan luasan permukaan suatu benda padat tiga dimensi (trigatra). Dalam aplikasi, luas permukaanbumi,yang dipakai dalam pengukuran lahan dan merupakan suatu luasan permukaan, kerap dianggap sebagai luas dua dimensibidang datarapabila luasan itu tidak terlalu besar relatif terhadap luas permukaan total bumi.

Satuan luas

Satuanluas pokok menurutSistem Internasionaladalahmeter persegi,sedangkan menurutsistem Imperialadalahkaki persegi.Ukuran yang berlaku nasional dan internasional bersifat eksak, sedangkan yang dipakai secara lokal dapat agak bervariasi. Untuk satuan lainnya yang biasa dipakai sehari-hari dapat dilihat di bawah.

Ukuran internasional dan nasional

• meter persegi(m²)
• are=tumbuk(diJambi) = 100 meter persegi = 100 sentiare (ca)
• hektare(ha) = 100 are = 10.000 meter persegi
• kilometer persegi(km²) = 100 hektare = 10 000 are = 1.000.000 meter persegi
• kakipersegi = 144 (= 12 × 12)incipersegi = 0,092 903 04 meter persegi
• yard(ela) persegi = 9 (= 3 × 3) kaki persegi = 0,836 127 36 meter persegi
• ekar(lebih dikenal diMalaysia) =acre= 10rantaipersegi (= satufurlongdikalikan satu rantai = 4.840 yard persegi = 43.560 kaki persegi = 4.046,856 422 4 meter persegi
• mil persegi= 640 ekar = 2,589 988 110 336 kilometer persegi

Ukuran lokal Indonesia

Beberapa satuan luas (terutama untuk lahan) yang bersifat lokal dikenal di Indonesia.

• ubin(nasional) = ru (Jawa Tengah) = tumbak/tombak (Jawa Barat) = 14,0625 (= 3,75 × 3,75) meter persegi
• bahu(bau, bouw) = 500 ubin = 7.031,25 meter persegi (≈ 0,7 ha) (lihat artikelnya untuk variasi ukuran)
• anggar(diKalimantan Barat) ≈ 1/33 hektare
• borong(diKalimantan Barat) = 1/6 hektare
• kesuk(di Jawa Mataraman), bervariasi dari 1.000 meter persegi hingga 1/6 hektare.
• rakit(PanturaJawa) ≈ 1.000 meter persegi
• rantai (sebenarnya rantai persegi, dipakai di perkebunanSumatra) = 484 (22 × 22) yard persegi = 404,685 644 24 meter persegi

Sejarah

Luas lingkaran

Pada abad ke-5 SM,Hippocrates dari Chiosadalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram (daerah yang dikelilingi lingkaran) sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian darikuadraturdariGaris pada Hippocrates,tetapi tidak mengidentifikasikonstanta proporsionalitas.Eudoxus dari Cnidus,juga pada abad ke-5 SM, juga menemukan bahwa luas sebuah cakram sebanding dengan radius kuadratnya.

Selanjutnya, Buku IEuclid'sElementsmembahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematikaArchimedesmenggunakan perkakasgeometri Euklidesuntuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luassegitiga siku-sikuyang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunyaPengukuran Lingkaran.(Kelilingnya 2πr,dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luasπr²untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk# Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkansegi enamyang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama denganpoligon berbatas.

Ilmuwan SwissJohann Heinrich Lambertpada tahun 1761 membuktikan bahwaπ,rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalahirasional,artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun.Pada tahun 1794, ahli matematika PrancisAdrien-Marie Legendremembuktikannya π²tidak rasional; ini juga membuktikan bahwa π tidak rasional.Pada tahun 1882, ahli matematika JermanFerdinand von Lindemannmembuktikan bahwa π adalahtransendental(bukan solusi daripersamaan polinomialdengan koefisien rasional), mengkonfirmasikan dugaan yang dibuat olehLegendredan Euler.^{:p. 196}

Luas segitiga

Heron (atau Hero) dari Aleksandriamenemukan apa yang dikenal sebagairumus Heronuntuk luas segitiga dalam segi sisinya, dan bukti dapat ditemukan dalam bukunya,Metrica,yang ditulis sekitar tahun 60 Masehi. Telah disarankan bahwaArchimedesmengetahui rumus tersebut lebih dari dua abad sebelumnya,dan karenaMetricaadalah kumpulan pengetahuan matematika yang tersedia di dunia kuno, ada kemungkinan rumus tersebut mendahului referensi yang diberikan dalam pekerjaan itu.

Pada tahun 499Aryabhata,seorangmatematikawan-astronomhebat dari zaman klasikmatematika Indiadanastronomi India,menyatakan luas segitiga sebagai satu-setengah alas kali tinggi diAryabhatiya(bagian 2.6).

Sebuah formula yang setara dengan Heron ditemukan oleh orang Cina secara terpisah dari orang Yunani. Itu diterbitkan pada 1247 diShushu Jiuzhang( "Risalah Matematika dalam Sembilan Bagian"), ditulis olehQin Jiushao.

Luas segiempat

Pada abad ke-7 M,Brahmaguptamengembangkan rumus yang sekarang dikenal sebagairumus Brahmagupta,untuk luassegiempat siklik(segiempattertulisdalam lingkaran) dalam hal sisi-sisinya. Pada tahun 1842, ahli matematika JermanCarl Anton BretschneiderdanKarl Georg Christian von Staudtsecara independen menemukan rumus, dikenal sebagairumus Bretschneider,untuk luas segiempat mana pun.

Luas poligon umum

PengembanganKoordinat KartesiusolehRené Descartespada abad ke-17 memungkinkan pengembanganrumus surveyoruntuk luas poligon dengan lokasititikyang diketahui olehGausspada abad ke-19.

Luas ditentukan menggunakan kalkulus

Perkembangankalkulus integraldi akhir abad ke-17 menyediakan alat yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung luas yang lebih rumit, seperti luaselipsdanluas permukaandari berbagai objek tiga dimensi melengkung.

Definisi formal

Lihat pula:Ukuran Jordan

Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma. "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kumpulan$M$dari gambar bidang jenis khusus (disebut himpunan terukur) ke himpunanbilangan real,yang memenuhi sifat berikut:

• Untuk semua$S$dalam$M$,$a(S)\geq 0$.
• Jika$S$dan$T$berada di$M$,maka$S\cup T$dan$S\cap T$.Dan juga,$a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$.
• Jika$S$dan$T$berada di$M$dengan$S\subseteq T$,maka$T-S$berada di$M$dan$a(T-S)=a(T)-a(S)$.
• Jika himpunan$S$dalam$M$dan$S$kongruen denganTmakaTjuga dalamMdana ( S ) = a ( T ).
• Setiap persegi panjang$R$adalah di$M$.Jika persegi panjang memiliki panjang$h$dan lebarnya$k$maka$a(R)=hk$.
• Misalkan$Q$adalah himpunan yang tertutup antara dua daerah langkah$S$dan$T$.Sebuah daerah langkah dibentuk dari gabungan hingga persegi panjang damping yang terletak di basis umum, yaitu$S\subseteq Q\subseteq T$.Jika ada bilangan tunggal$c$sehingga$a(S)\leq c\leq a(T)$untuk semua daerah langkah$S$dan$T$,maka$a(Q)=c$.

Sifat di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi luas benar-benar ada.

Rumus

Rumus poligon

Artikel utama:Poligon

Untuk poligon takberpotongan-diri (sederhana),koordinat kartesius$(x_{i},y_{i})$dengan$i=0,1,\dots,n-1$dann-verteksnya diketahui, luas tersebut diberikan olehrumus surveyor

$A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|$

di mana ketika$i=n-1$,maka$i+1$dinyatakan sebagai modulus$n$dan mengacu ke 0.

Lingkaran

Artikel utama:Luas lingkaran

Sebuahlingkaranyang membentuk bagian-bagian menjadi persegi panjang.

Diberikan$r$adalahjari-jaripada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut memotong menjadi bagian yang sama besar (seperti pada gambar di samping). Setiap bagian yang dipotong mirip seperti segitiga. Bila disusun menjadi persegi panjang, maka didapati tingginya adalah jari-jari lingkaran.dan panjangnya adalah keliling lingkaran,$\pi r$.Maka, didapati luas pada lingkaran:

$L=\pi r^{2}$

Luas dalamkalkulus

Artikel utama:Kalkulus

Integral dapat ditinjau sebagai mengukur luas di bawah kurva, yang didefinisikan oleh$f(x)$a antara dua titik (yaitu$a$dan$b$).

Luas antara dua grafik dapat dievaluasi dengan menghitung selisih antara integral dari dua fungsi.

• Luas antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

• Luas antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi, f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):$A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$where$f(x)$adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.
• Luas yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:

$A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta.$

• Luas tertutup oleh kurva parametrik${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$dengan titik akhir${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$diberikan oleh garisintegral:

$\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$( Lihatteorema Green) atau komponen$z$dari:${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$

Daerah yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat

Untuk menemukan luas yang dibatasi antara duafungsi kuadrat,kita kurangi satu dari yang lain untuk menuliskan perbedaannya sebagai

$f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

di mana$f(x)$adalah batas atas kuadratik dan$g(x)$adalah batas bawah kuadratik. Dapat menentukanm diskriminan dari$f(x)-g(x)$sebagai

$A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.$

Rumus dii atas tetap valid jika salah satu fungsi pembatas adalah linear, bukan kuadratik.

Rumus luas

Contoh-contoh bangun dua dimensi

Luas suatubangun dua dimensidapat dihitung dengan menggunakan elemen satuan luas berupapersegi(atau bentuk lain) yang diketahui ukurannya. Luas bangun yang akan diukur merupakan jumlah elemen satuan luas yang menutupinya. Untuk bangun-bangun yang memiliki keteraturan terdapatrumus-rumus yang dapat digunakan bergantung padakarakteristikbangundua dimensiyang dimaksud.

Bentuk	Rumus luas	Variabel
Bujur sangkar/Persegi	$s^{2}\!$	sisi(s)
Persegi panjang	$pl\!$	panjang(p),lebar(l)
Lingkaran	$\pi r^{2}\!$	jari-jari(r)
Segitiga	${\frac {at}{2}}\!$	alas(a),tinggi(t)
Jajar genjang	$at\!$	alas(a),tinggi(t)
Trapesium	${\frac {(a+b)t}{2}}\!$	alasatas (a),alasbawah (b),tinggi(t)
Belah ketupat	${\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!$	diagonal(d1&d2)
Layang-layang	${\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!$	diagonal(d1&d2)
Elips	$\pi ab\!$	jari-jaridatar (a),jari-jaritegak (b)
Luas daerah (dibutuhkankalkulus)	$\int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h$

Lihat pula

• Luas lingkaran,yang melibatkan luas pada sebuahlingkaran.
• Luas permukaan