Nilai harapan

Dalamteori peluang,nilai harapan(juga disebut denganekspektasi,nilai ekspektasi,mean,rata-rata,purata,ataumomen pertama) adalah perumuman daripurata berbobot.Secara informal, nilai harapan adalahpurata aritmetikadari banyak hasil pada sebuahvariabel acakyang dipilih secaraindependen.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakanintegral.Dalam landasanaksiomatikuntuk peluang yang diberikan olehteori ukuran,nilai harapan didefinisikan denganintegral Lebesgue.

Nilai harapan dari sebuah variabel acak $X$ umum dinyatakan sebagai $\mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{atau }}\mathbb {E} X$ dengan $\mathbb {E}$ terkadang juga ditulis dalam gaya huruf $\mathrm {E}$ atau $E$ .^[1]^[2]^[3]

Notasi

Penggunaan huruf $E$ untuk menyatakan nilai harapan (expected value) dapat dilacak keW. A. Whitworthpada tahun 1901.^[4]Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, $E$ merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.^[5]

Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: $E$ (tegak), $E$ (miring), or $\mathbb {E}$ (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: $\mathbb {E} [X],\mathbb {E} (X),{\text{dan }}\mathbb {E} X$ ).

Notasi lain yang populer adalah $μ X$ ,sedangkan $⟨ X ⟩$ , $⟨ X ⟩ av$ ,dan ${\overline {X}}$ banyak dijumpai dalamfisika,^[6]dan $M(X)$ dalam tulisan-tulisan berbahasa Rusia.

Definisi

Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur olehfungsi kepadatan peluangkontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalamteori ukurandanintegral Lebesgue.

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuahvektor acak $X$ .Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni $E[X] i = E[X i]$ .Serupa dengan itu, nilai harapan darimatriks acak $X$ dengan elemen-elemen $X ij$ didefinisikan sebagai $E[X] ij = E[X ij]$ .

Variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil

Misalkan $X$ adalah variabel acak denganterhinggabanyaknya hasil yang mungkin $x 1,..., x k$ ,masing-masing memiliki peluang $p 1,..., p k$ untuk terjadi. Nilai harapan dari $X$ didefinisikan sebagai^[7]

\mathbb {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.

Karena total semua peluang $p 1 + \cdot\cdot\cdot + p k = 1$ ,wajar untuk menganggap $E[X]$ sebagaipurata berbobotdari nilai-nilai $x i$ ,dengan bobot-bobot berupa nilai peluang $p i$ .Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, $p 1 = \cdot\cdot\cdot = p k$ ), purata berbobot akan sama denganrata-ratayang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

Variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil

Secara informal, nilai harapan dari variabel acak denganterhitungbanyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

\mathbb {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},

dengan $x 1, x 2,...$ adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak $X$ dan $p 1, p 2,...$ masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus,teorema barisan Riemanndalamanalisis matematikamenunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebutkonvergen absolut,yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan.^[8]Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakantidak memiliki nilai harapan yang terhingga.^[8]

Referensi

^"Expectation | Mean | Average".www.probabilitycourse.com.Diakses tanggal2020-09-11.
^Hansen, Bruce."Probability and Statistics for Economists"(PDF).Diarsipkan dariversi asli(PDF)tanggal 2022-01-19.Diakses tanggal2021-07-20.
^Wasserman, Larry (December 2010).All of Statistics: a concise course in statistical inference.Springer texts in statistics. hlm. 47.ISBN 9781441923226.
^Whitworth, W.A. (1901)Choice and Chance with One Thousand Exercises.Fifth edition. Deighton Bell, Cambridge. [Reprinted by Hafner Publishing Co., New York, 1959.]
^"Earliest uses of symbols in probability and statistics".
^ Feller 1968,hlm. 221.
^ Billingsley 1995,hlm. 76.
^^a ^b Feller 1968,Section IX.2.

Daftar pustaka

Edwards, A.W.F (2002).Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea(edisi ke-2nd). JHU Press.ISBN 0-8018-6946-3.
Huygens, Christiaan (1657).De ratiociniis in ludo aleæ(English translation, published in 1714).
Billingsley, Patrick(1995).Probability and measure.Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (edisi ke-Third edition of 1979 original). New York:John Wiley & Sons, Inc.ISBN 0-471-00710-2.MR 1324786.
Casella, George;Berger, Roger L.(2001).Statistical inference.Duxbury Advanced Series (edisi ke-Second edition of 1990 original). Pacific Grove, CA: Duxbury.ISBN 0-534-11958-1.
Feller, William(1968).An introduction to probability theory and its applications. Volume I(edisi ke-Third edition of 1950 original). New York–London–Sydney:John Wiley & Sons, Inc.MR 0228020.
Feller, William(1971).An introduction to probability theory and its applications. Volume II(edisi ke-Second edition of 1966 original). New York–London–Sydney:John Wiley & Sons, Inc.MR 0270403.
Johnson, Norman L.;Kotz, Samuel;Balakrishnan, N. (1994).Continuous univariate distributions. Volume 1.Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (edisi ke-Second edition of 1970 original). New York:John Wiley & Sons, Inc.ISBN 0-471-58495-9.MR 1299979.
Papoulis, Athanasios;Pillai, S. Unnikrishna(2002).Probability, random variables, and stochastic processes(edisi ke-Fourth edition of 1965 original). New York:McGraw-Hill.ISBN 0-07-366011-6.Templat:Erratum
Ross, Sheldon M.(2019).Introduction to probability models(edisi ke-Twelfth edition of 1972 original). London:Academic Press.doi:10.1016/C2017-0-01324-1.ISBN 978-0-12-814346-9.MR 3931305.

Pranala luar

"Expected Value | Brilliant Math & Science Wiki".brilliant.org(dalam bahasa Inggris).Diakses tanggal2020-08-21.

[1] "Expectation | Mean | Average".www.probabilitycourse.com.Diakses tanggal2020-09-11.

[2] Hansen, Bruce."Probability and Statistics for Economists"(PDF).Diarsipkan dariversi asli(PDF)tanggal 2022-01-19.Diakses tanggal2021-07-20.

[3] Wasserman, Larry (December 2010).All of Statistics: a concise course in statistical inference.Springer texts in statistics. hlm. 47.ISBN 9781441923226.

[4] Whitworth, W.A. (1901)Choice and Chance with One Thousand Exercises.Fifth edition. Deighton Bell, Cambridge. [Reprinted by Hafner Publishing Co., New York, 1959.]

[5] "Earliest uses of symbols in probability and statistics".

[FOOTNOTEFeller1968221-6] Feller 1968,hlm. 221.

[FOOTNOTEBillingsley199576-7] Billingsley 1995,hlm. 76.

[FOOTNOTEFeller1968Section_IX.2-8] Feller 1968,Section IX.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Pengawasan otoritas
Umum	Integrated Authority File (Jerman)
Perpustakaan nasional	Ukraina
Lain-lain	Microsoft Academic