Politop


Polihedronmerupakan politop berdimensi-3.

Dalamgeometrielementer,politopadalah suatu objek geometri yang memilikimuka,sisi yang datar. Politop secara umum merupakan perumuman daripolihedronberdimensi tiga menjadi sebarang dimensi. Politop yang mungkin ada dalam sebarang dimensi $n$ disebut sebagaipolitop berdimensi- $n$ .Sebagai contoh,poligonmerupakan politop berdimensi-2, danpolihedronmerupakan politop berdimensi-3. Pada konteks ini, "sisi yang datar" mengartikan bahwa sisi-sisi dari suatu politop berdimensi- $(k + 1)$ terdiri dari politop berdimensi- $k$ yang dapat memiliki politop berdimensi- $(k - 1)$ yang sama.

Ada beberapa teori yang memperumum gagasan lebih lanjut untuk memasukkan objek sepertiapeirotopdanpengubinanyang tidak memliki batas, dekomposisi atau pengisi kurvamanifoldsepertipolihedron sferis,danpolitop abstrak.

Politop dengan dimensi yang lebih dari tiga pertama kali ditemukan olehLudwig Schläflisebelum tahun 1853, yang menyebutnyapolyschem.^[1]Istilahpolytopyang berasal daribahasa Jermandiciptakan oleh matematikawanReinhold Hoppe,dan diperkenalkan kepada matematikawan asal Inggris yang bernamaAlicia Boole Stottsebagaipolytope.

Pendekatan definisi

Istilahpolitopsaat ini merupakan istilah luas yang mencakup kelas-kelas objek yang sangat banyak, dan berbagai definisi ditemukan dalam kepustakaan matematika. Akan tetapi, banyak dari definisi ini tidak ekuivalen dengan satu sama lain, dan hal tersebut menghasilkan kumpulan objek bertumpang tindih yang berbeda, yang disebutpolitop.Objek-objek tersebut mewakili pendekatan yang berbeda untuk memperumumpolitop cembunguntuk memasukkan objek lain dengan sifat-sifat yang serupa.

Pendekatan asli secara luas diikuti olehLudwig Schläfli,Thorold Gossetdan lainnya. Pendekatan tersebut berawal dari gagasan poligon (berdimensi dua) dan polihedron (berdimensi tiga) yang diperluas berdasarkananalogimenjadi dalam objek berdimensi empat atau lebih.^[2]

Upaya untuk memperumumkarakteristik Eulerdari polihedron menjadi politop berdimensi lebih tinggi mengakibatkan pengembangantopologidan perlakuan dekomposisi ataukompleks CW(CW complex) menjadi analogi dengan politop.^[3]Berdasarkan pendekatan tersebut, politop dapat dipandang sebagaipengubinanatau dekomposisi dari beberapamanifold.Contoh pendekatan ini mendefinisikan politop sebagai sekumpulan titik yang memilikidekomposisi sederhana.Selain itu, politop dalam pendekatan tersebut juga merupakan gabungan dari tak berhingga banyaknyasimpleksdengan adanya sifat tambahan yang berbunyi bahwa untuk sebarang dua buah simpleks yang memiliki irisan tak kosong, irisannya adalah titik sudut,edge,atau muka dari dua simpleks yang berdimensi lebih tinggi.^[4]Sayangnya, definisi ini tidak berlaku untukpolitop bintangdengan struktur interior, sehingga definisi tersebut menjadi terbatas di cabang matematika tertentu. Politop dalam jumlah dimensi yang lebih rendah memiliki nama yang standar:

Dimensi politop	Merupakan sebutan untuk^[5]
−1	Nullitop
0	Monon
1	Dion
2	Poligon
3	Polihedron
4	Polikhoron^[5]

Sifat-sifat

Karena politop cembung $P$ (yang terisi) dengan $d$ dimensi adalahkontraktibelmenjadi satu buah titik,karakteristik Euler $\chi$ dari batasnya $\partial P$ dirumuskan dengan penjumlahan berselang-seling: $\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}.$ Notasi $n_{j}$ pada rumus di atas menyatakan jumlah dari muka berdimensi- $j$ .Karakteristik ini memperumumrumus Euler untuk polihedron.^[6]

Teorema Gram–Eulerjuga memperumum penjumlahan selang-seling darisudut internal ${\textstyle \sum \varphi }$ untuk polihedron cembung ke politop dengan dimensi yang lebih tinggi.^[6] $\sum \varphi =(-1)^{d-1}.$

Perumuman

Politop tak terbatas

Tidak semua mainfold adalah terhingga. Apabila politop dianggap sebagai pengubinan atau dekomposisi manifold, maka gagasan ini dapat diperluas menjadi manifold tak terhingga. Karena itu, politop meliputipengubinan bidang,(sarang lebah) pengisi ruang, danpengubinan hiperbolik.Politop tersebut terkadang-kadang disebutapeirotopsebab memiliki banyak sel yang tak berhingga jumlahnya.

Dari antara politop-politop tersebut, terdapat bentuk yang beraturan sepertipolihedron pencong beraturandan deret tak terhingga dari pengubinan yang dinyatakan denganapeirogonberaturan, pengubinan persegi, sarang lebah kubik, dan lain sebagainya.

Politop abstrak

Politop abstrak merupakanhimpunan terurut parsialdari elemen atau anggota, yang mematuhi aturan-aturan tertentu. Politop ini merupakanstruktur aljabarmurni. Teori tentangnya dikembangkan supaya menghindari masalah-masalah yang menjadikannya sangat sulit untuk mencocokkan berbagai kelas geometris dalam sebuah struktur matematis yang konsisten. Suatu politop geometris dikatakan realisasi di beberapa ruang nyata dari politop abstrak yang terkait.^[7]

Politop kompleks

Terdapat struktur yang mirip seperti dengan politop, dan struktur ada diruang Hilbertkompleks $\mathbb {C} ^{n}$ ,dengan dimensi real $n$ yang disertai dengan $n$ bilangan imajiner.Lebih-lebih,poltop kompleks beraturandiperlakukan sebagaikonfigurasi.^[8]

Lihat pula

Referensi

Catatan

^Coxeter 1973,hlm. 141–144, §7-x. Historical remarks.
^Coxeter 1973.
^Richeson, D.(2008).Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology.Princeton University Press.
^Grünbaum 2003.
^^a ^bJohnson, Norman W. (2018).Geometries and Transformations.Cambridge University Press. hlm. 224.
^^a ^bM. A., Perles; G. C., Shephard (Maret 1967). "Angle sums of convex polytopes".21(2).Math. Scandinavica:199–218.
^McMullen, Peter;Schulte, Egon (Desember 2002),Abstract Regular Polytopes(edisi ke-1st),Cambridge University Press,ISBN 0-521-81496-0
^Coxeter, H.S.M. (1974).Regular Complex Polytopes.

Sumber

Coxeter, Harold Scott MacDonald(1973),Regular Polytopes,New York: Dover Publications, hlm. 141–144, §7–x. Historical remarks,ISBN 978-0-486-61480-9

Grünbaum, Branko(2003), Kaibel, Volker;Klee, Victor;Ziegler, Günter M.,ed.,Convex polytopes(edisi ke-2nd), New York & London:Springer-Verlag,ISBN 0-387-00424-6.
Ziegler, Günter M.(1995),Lectures on Polytopes,Graduate Texts in Mathematics,152,Berlin, New York:Springer-Verlag.

Pranala luar

Weisstein, Eric W."Polytope".MathWorld.
"Math will rock your world"– application of polytopes to a database of articles used to support custom news feeds via theInternet– (Business Week Online)
Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview:

[FOOTNOTECoxeter1973141&ndash;144,_§7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973,hlm. 141–144, §7-x. Historical remarks.

[FOOTNOTECoxeter1973-2] Coxeter 1973.

[gem-3] Richeson, D.(2008).Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology.Princeton University Press.

[FOOTNOTEGrünbaum2003-4] Grünbaum 2003.

[standard-5] Johnson, Norman W. (2018).Geometries and Transformations.Cambridge University Press. hlm. 224.

[pands-6] M. A., Perles; G. C., Shephard (Maret 1967). "Angle sums of convex polytopes".21(2).Math. Scandinavica:199–218.

[abstract-7] McMullen, Peter;Schulte, Egon (Desember 2002),Abstract Regular Polytopes(edisi ke-1st),Cambridge University Press,ISBN 0-521-81496-0

[coxeter-8] Coxeter, H.S.M. (1974).Regular Complex Polytopes.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

l b s Dimensi
Ruang dimensi	Ruang vektor Ruang Euklides Ruang afin Ruang proyektif Manifold Varietas aljabar Ruang waktu
Dimensi lain	Krull Homologis Topologis Induktif Hausdorff Minkowski-Bouligand Fraktal Derajat bebas
Politopdanbentuk	Hyperplane Hypersurface Hiperkubus Hypersphere Hiperbujur sangkar Demihiperkubus Politop persilangan Simplex
Dimensi berdasarkan angka	Nol Satu Dua Tiga Empat Lima Enam Tujuh Delapan n-dimensi
Kategori