Akar kuadrat

Di dalammatematika,akar kuadratatauakar persegidari bilanganxsama dengan bilanganrsedemikian sehinggar²=x,atau, di dalam perkataan lain, bilanganryang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama denganx.Setiapbilangan realtak-negatif, katakanlahxmemiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebutakar kuadrat utama,yang dilambangkan olehakar ke-nsebagai $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ .Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasieksponen,sebagaix^1/2.Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan $\scriptstyle {\sqrt {9}}=3$ ,karena3²= 3 × 3 = 9dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positifxmemiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ ,yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah $\scriptstyle -{\sqrt {x}}$ ,yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan $\scriptstyle \pm {\sqrt {x}}$ .Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka ka gianbilangan kompleks.Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasukaljabar matriks,gelanggang endomorfisma,dll).

Akar kuadrat daribilangan bulatyang bukan merupakankuadrat sempurnaadalah selalubilangan irasional(disebut jugabilangan takrasional:bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagaihasil bagidari dua bilangan bulat. Misalnya, $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ tidak dapat dituliskan secara tepat olehm/n,di manandanmadalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjangdiagonalsebuahpersegiyang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ adalah irasional olehHippasus,murid dariPythagoras.(LihatAkar kuadrat dari 2untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini danirasional kuadratuntuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikanadalah bilangan atau penya gian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penya gian $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{ab+2}}$ ,ab+ 2 adalah radikan.

Sifat

Fungsi akar kuadrat utama $\scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}$ (biasanya hanya disebut sebagai "fungsiakar kuadrat") adalahfungsiyang memetakanhimpunanbilangan real taknegatifR⁺∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakanbilangan rasionalke dalambilangan aljabar(adihimpunanbilangan rasional); $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ adalah rasional jika dan hanya jikaxadalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari duakuadrat sempurna.Di dalam istilahgeometri,fungsi akar kuadrat memetakanluasdaripersegikepada panjang sisinya.

Untuk setiap bilangan realx

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}

(lihatnilai absolut)

Untuk setiap bilangan real taknegatifxdany,

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

dan

{\sqrt {x}}=x^{1/2}.

Fungsi akar kuadrat adalahkontinuuntuk setiap bilangan taknegatifxdanterdiferensialkanuntuk setiap bilangan positifx.Turunannya diberikan oleh

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

Deret Taylordari √1 +xdi dekatx= 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh

{\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif

Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yangberlawanansatu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalahbilangan bulat aljabar,lebih spesifiknya bilangan bulatkuadrat.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktorprima,karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka ${\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},$ hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalamfaktorisasiyang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat darifaktorisasi primaadalah

{\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.

Sebagai ekspansi desimal

Akar kuadrat darikuadrat sempurnas (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalahbilangan bulat.Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalahbilangan irasionals, dan karenanya memiliki non-desimal berulangdalamrepresentasi desimal.Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

$n$	${\sqrt {n}},$ dipotong menjadi 50 tempat desimal
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya

Seperti sebelumnya, akar kuadrat darikuadrat sempurna(misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalahbilangan irasionals, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistemnotasi posisistandar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hashSHA-1danSHA-2untuk memberikantidak ada bilangan lengan.

Sebagai pecahan lanjutan periodik

Salah satu hasil paling menarik dari studibilangan irasionals karenapecahan kontinudiperoleh denganJoseph Louis Lagrangeca1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalahberkala.Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2,...]
${\sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2,...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4,...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4,...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4,...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6,...]
${\sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6,...]
${\sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6,...]
${\sqrt {13}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6,...]
${\sqrt {14}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6,...]
${\sqrt {15}}$	= [3; 1, 6, 1, 6,...]
${\sqrt {16}}$	= [4]
${\sqrt {17}}$	= [4; 8, 8,...]
${\sqrt {18}}$	= [4; 4, 8, 4, 8,...]
${\sqrt {19}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8,...]
${\sqrt {20}}$	= [4; 2, 8, 2, 8,...]

Notasikurung sikuyang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6,...], terlihat seperti ini:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena11 = 3²+ 2,di atas juga identik denganpecahan lanjutan umum:

{\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.

Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks

Daun pertama dari akar kuadrat kompleks

Daun kedua dari akar kuadrat kompleks

Menggunakanpermukaan Riemanndari akar kuadrat, ditunjukkan bagaimana kedua daun tersebut saling cocok

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadratnyata.Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebutbilangan komplekss, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengani(terkadangj,terutama dalam kontekslistrikdi mana "i"secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebutunit imajiner,yangdidefinisikansedemikian rupai²= −1.Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggapisebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya(−i)²=i²= −1dan jadi -ijuga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalahi,atau lebih umum lagi, jikaxadalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama darixadalah

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.

Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat darix,maka

(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.

Untuk setiap bilangan kompleks bukan nolzterdapat tepat dua bilanganwsedemikian rupaw²=z:akar kuadrat utama dariz(didefinisikan di bawah), dan negatifnya.

Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks

Templat:Visualisation complex number roots Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebutnilai pokok,kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa punx+iydapat dilihat sebagai titik di bidang, (x,y), diekspresikan menggunakankoordinat kartesius.Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakankoordinat polarsebagai pasangan $(r,\varphi$ ), di manar≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan $\varphi$ adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata (x). Dalamanalisis kompleks,lokasi titik ini ditulis secara konvensional $re^{i\varphi }.$ Jika

z=re^{i\varphi }{\text{ dengan }}-\pi <\varphi \leq \pi,

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama darizsebagai berikut:

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagaipotongan cabang.Fungsi akar kuadrat utama adalahholomorfikdi mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkankontinu). Deret Taylor di atas untuk ${\sqrt {1+x}}$ tetap berlaku untuk bilangan kompleksxdengan|x| < 1.

Di atas juga dapat dinyatakan dalamfungsi trigonometri:

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).

Rumus aljabar

Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk akar kuadrat utama:^[1]^[2]

{\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},

di manatandadari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.

Misalnya, akar kuadrat utama dari $\pm i$ diberikan oleh:

{\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}

Catatan

Berikut ini, komplekszdanwdapat diekspresikan sebagai:

$z=|z|e^{i\theta _{z}}$
$w=|w|e^{i\theta _{w}}$

di mana $-\pi <\theta _{z}\leq \pi$ dan $-\pi <\theta _{w}\leq \pi$ .

Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalahtidak benarsecara umum.

${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$ (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: $z = -1$ dan $w = -1$ ) Kesetaraan ini hanya berlaku jika $-\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi$
${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$ (counterexample untuk akar kuadrat utama: $w = 1$ dan $z = -1$ ) Persamaan ini hanya berlaku jika $-\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi$
${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$ (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: $z = -1$ ) Persamaan ini hanya valid jika $\theta _{z}\neq \pi$

Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya,logaritma kompleksdan relasi $log z + log w = log(zw)$ or $log(z *) = log(z) *$ yang tidak benar secara umum.

Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu $-1 = 1$ :

{\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}

Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihatbukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.$ Sisi kiri menjadi salah satunya

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1

jika cabang menyertakan +iatau

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1

jika cabang termasuk -i,sedangkan sisi kanan menjadi

{\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,

di mana persamaan terakhir, ${\sqrt {1}}=-1,$ adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

Akar ke-n dan akar polinomial

Definisi akar kuadrat dari $x$ sebagai angka $y$ sedemikian rupa sehingga $y^{2}=x$ telah digeneralisasikan dengan cara berikut.

Akar pangkat tigadari $x$ adalah angka $y$ sedemikian rupa sehingga $y^{3}=x$ ;dilambangkan ${\sqrt[{3}]{x}}.$

Jika $n$ adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, $n$ akar kedari $x$ adalah angka $y$ seperti $y^{n}=x$ ;dilambangkan ${\sqrt[{n}]{x}}.$

Mengingatpolinomial $p$ ,sebuahakardari $p$ adalah bilangan $y$ seperti yang $p (y) = 0$ .Misalnya, akar ke $n$ dari $x$ adalah akar dari polinomial (pada $y$ ) $y^{n}-x.$

Teorema Abel–Ruffinimenyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke $n$ .

Komputasi

Sebagian besarmesin hitungmemiliki tombol akar kuadrat.Lembar kerjakomputer danperangkat lunaklainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitungfungsi eksponensialdanlogaritma naturalataulogaritma,dan kemudian menghitung akar kuadrat darixmenggunakan identitas

{\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}

atau

{\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.

Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengantabel logaritmaatauslide rule.

Metode iteratifpenghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia"atau" Metode Heron "dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani KunoHeron dari Iskandariyahyang pertama memaparkan metode ini.^[3]Metode ini melibatkanalgoritmesederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukanr,akar kuadrat dari bilangan realx:

Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarangr(semakin dekat ke akar kuadratx,semakin baik).
Gantirdengan rata-rata antarardanx/r,yaitu: $\scriptstyle (r+x/r)/2\,$ (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikankonvergensi.)
Ulangi langkah ke-2 hinggardanx/rcukup dekat dengan nilai yang diharapkan.

Kompleksitas waktuuntuk menghitung akar kuadrat dengannangka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memilikin-angka.

Catatan

^Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964).Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables.Courier Dover Publications. hlm. 17.ISBN 0-486-61272-4.Diarsipkan dariversi aslitanggal 2016-04-23.,Section 3.7.27, p. 17 Diarsipkan2009-09-10 diWayback Machine.
^Cooke, Roger (2008).Classical algebra: its nature, origins, and uses.John Wiley and Sons. hlm. 59.ISBN 978-0-470-25952-8.Diarsipkan dariversi aslitanggal 2016-04-23.
^Heath, Thomas (1921).A History of Greek Mathematics, Vol. 2.Oxford: Clarendon Press. hlm. 323–324.

Referensi

Imhausen, Annette (2007).The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam.Princeton: Princeton University Press. hlm.187-384.ISBN 0691114854.
Joseph, George (2000).The Crest of the Peacock.Princeton: Princeton University Press.ISBN 0691006598.
Smith, David (1958).History of Mathematics.2.New York: Dover Publications.ISBN 9780486204307.

Pranala luar

Teknik soroban Jepang- Metode Profesor Fukutaro Kato
Teknik soroban Jepang- Metode Takashi Kojima
Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi- Halaman web akar kuadrat milik Paul Hsieh
Cara menentukan akar kuadrat secara manual Diarsipkan2009-10-16 diWayback Machine.

[1] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964).Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables.Courier Dover Publications. hlm. 17.ISBN 0-486-61272-4.Diarsipkan dariversi aslitanggal 2016-04-23.,Section 3.7.27, p. 17 Diarsipkan2009-09-10 diWayback Machine.

[2] Cooke, Roger (2008).Classical algebra: its nature, origins, and uses.John Wiley and Sons. hlm. 59.ISBN 978-0-470-25952-8.Diarsipkan dariversi aslitanggal 2016-04-23.

[3] Heath, Thomas (1921).A History of Greek Mathematics, Vol. 2.Oxford: Clarendon Press. hlm. 323–324.

[1]

[2]

[3]