Barisan

Bilangan segitigamembentuk barisan${\textstyle \left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)=(1,3,6,10,15,21,...)}$

Dalammatematika,barisan(ataubanjar,atau bahkan secara istilah terkelirukan denganderet) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan,fungsi,peubah acak,dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu.Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu.Benda dengan indeksidisebutsuku ke-i.Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebutpanjangbarisan.

Berbeda denganhimpunan,urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatufungsidengan daerah asalnya adalahbilangan asli.

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan sepertibarisan aritmatikadanbarisan geometri,atau yang dibentuk dengan aturan tertentu sepertibarisan Fibonaccidan barisanbilangan prima.Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Penulisan barisan

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yangberbaris.Masing-masing anggota barisan disebutsukudan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang$u_{n}$,yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni$1$dikaitkan dengan$u_{1}$,$2$dikaitkan dengan$u_{2}$,dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asli$U:\mathbb {N} \to K$untuk sebarang himpunan$K$dengan nilai$U(n)=u_{n}$.Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang$U$atau$(u_{n})$atau${\textstyle (u_{n}\mid n\in \mathbb {N} )}$atau$\langle u_{n}\rangle$.

Penentuan barisan

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

• mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
• menyuratkan rumus suku umumnya,
• relasi perulangan
• menerangkannya dengan kalimat.

Mendaftarkan suku-sukunya

Sepuluh rumus barisan dengan suku awal$(1,2,3...)$dengan suku keempat yang berbeda diperoleh denganinterpolasi sukubanyak Lagrange.

Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai${\textstyle (3,10,17,24,31)}$.Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti$(u_{1},u_{2},u_{3},...,u_{n})$.Jika barisan itutak hingga,biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan$(2,4,6,8,...)$yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan$(1,2,3...)$adalah barisan bilangan asli$(1,2,3,4,5,6.7...)$.Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan$(1,2,3,1,-7,-24,-53,...)$.Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu${\textstyle (3,1,4,1,5,...)}$Antara dugaan yang mungkin adalah${\textstyle (3,1,4,1,5,1,6,7,...)}$.Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digitpi,yaitu${\textstyle (3,1,4,1,5,9,2,6,5,...)}$.Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

Menyuratkan rumus suku umumnya

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

• barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai${\textstyle a_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$,
• barisanBarisan tandadirumuskan sebagai$a_{n}=(-1)^{n}$.
• barisan aritmatikadengan suku awal$a$dan beda dua suku berurutan$b$dirumuskan sebagai$a_{n}=a+(n-1)b$,
• barisan geometridengan suku awal$a$dan perbandingan dua suku berurutan$r$dirumuskan sebagai$a_{n}=ar^{n-1}$.

Relasi perulangan

Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)

Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalahbarisan Fibonacci$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},$dengan syarat awal$a_{0}=0$dan$a_{1}=1.$Jugabarisan Recamányang didefinisikan dengan$${\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{jika nilai yang didapat itu positif dan belum ada di dalam barisan,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{selainnya}},\end{cases}}$$Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu$a_{n}=a_{n-1}+b,\ a_{1}=a$.untuk barisan aritmatika, dan$a_{n}=ra_{n-1},\ a_{1}=a$untuk barisan geometri.

Penerapan barisan

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertianfungsi,ruang,dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang ka giananalisis matematis,seperti pengertianlimit fungsi,pengertianturunan,dan pengertianintegral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalahpencacahan.

Sifat barisan

Kemonotonan barisan

Suatu barisan dikatakan:

• monoton naikapabila untuk sebarang bilangan bulat$n$berlaku$a_{n}\leq a_{n+1}$,
• monoton naik sejatiapabila untuk sebarang bilangan bulat$n$berlaku$a_{n}<a_{n+1}$,
• monoton turunapabila untuk sebarang bilangan bulat$n$berlaku$a_{n}\geq a_{n+1}$,
• monoton turun sejatiapabila untuk sebarang bilangan bulat$n$berlaku$a_{n}>a_{n+1}$,

Barisan terbatas

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai$A$sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku$u_{n}<A$.Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai$B$sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku$u_{n}<B$.Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Kekonvergenan barisan

Artikel utama:Limit barisan

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatufungsi jarak,barisan$(u_{n})$dikatakankonvergen menuju$u$jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan$u$ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakandivergenapabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebutbarisan Cauchy.Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

Lihat juga

• Net (topologi),perumuman barisan, dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya.
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Permutasi
• Kombinasi
• Relasi perulangan
• Sequence space
• Deret (matematika)
• Himpunan (matematika)

Jenis

• Barisan Farey
• Look-and-say sequence
• Thue–Morse sequence

Konsep terkait

• List (computing)
• Ordinal-indexed sequence
• Recursion (computer science)
• Rangkap
• Teori himpunan

Operasi

• Cauchy product
• Limit suatu barisan

Pranala luar

• Definisi kamusbarisandi Wikikamus
• Hazewinkel, Michiel,ed. (2001) [1994],"Sequence",Encyclopedia of Mathematics,Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,ISBN978-1-55608-010-4
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Journal of Integer Sequences(free)
• (Inggris)sequence (ID: barisan)diPlanetMath.