Barisan
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/First_six_triangular_numbers.svg/231px-First_six_triangular_numbers.svg.png)
Dalammatematika,barisan[1](ataubanjar[2],atau bahkan secara istilah terkelirukan denganderet) secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan,fungsi,peubah acak,dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu[3].Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu[4].Benda dengan indeksidisebutsuku ke-i.Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebutpanjangbarisan.
Berbeda denganhimpunan,urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.
Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatufungsidengan daerah asalnya adalahbilangan asli[5].
Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan sepertibarisan aritmatikadanbarisan geometri,atau yang dibentuk dengan aturan tertentu sepertibarisan Fibonaccidan barisanbilangan prima.Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.
Penulisan barisan
[sunting|sunting sumber]Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yangberbaris.Masing-masing anggota barisan disebutsukudan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang,yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yaknidikaitkan dengan,dikaitkan dengan,dan seterusnya. Dengan pengertian fungsi, dapat dipahami bahwa barisan adalah fungsi dari himpunan bilangan asliuntuk sebarang himpunandengan nilai[6].Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambangatauatau[7]atau[8].
Penentuan barisan
[sunting|sunting sumber]Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:
- mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
- menyuratkan rumus suku umumnya,
- relasi perulangan
- menerangkannya dengan kalimat.
Mendaftarkan suku-sukunya
[sunting|sunting sumber]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Lagrange_polynomials_for_continuations_of_sequence_1%2C2%2C3.gif/301px-Lagrange_polynomials_for_continuations_of_sequence_1%2C2%2C3.gif)
Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai.Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti.Jika barisan itutak hingga,biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisanyang merupakan barisan bilangan genap.
Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisanadalah barisan bilangan asli.Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan.Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaituAntara dugaan yang mungkin adalah.Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digitpi,yaitu.Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.
Menyuratkan rumus suku umumnya
[sunting|sunting sumber]Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku
- barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai,
- barisanBarisan tandadirumuskan sebagai.
- barisan aritmatikadengan suku awaldan beda dua suku berurutandirumuskan sebagai,
- barisan geometridengan suku awaldan perbandingan dua suku berurutandirumuskan sebagai.
Relasi perulangan
[sunting|sunting sumber]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Fibonacci_Spiral.svg/220px-Fibonacci_Spiral.svg.png)
Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalahbarisan Fibonaccidengan syarat awaldanJugabarisan Recamányang didefinisikan denganBarisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu.untuk barisan aritmatika, danuntuk barisan geometri.
Penerapan barisan
[sunting|sunting sumber]Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertianfungsi[6],ruang,dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang ka giananalisis matematis,seperti pengertianlimit fungsi,pengertianturunan,dan pengertianintegral Riemman.
Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalahpencacahan.
Sifat barisan
[sunting|sunting sumber]Kemonotonan barisan
[sunting|sunting sumber]Suatu barisan dikatakan:
- monoton naikapabila untuk sebarang bilangan bulatberlaku,
- monoton naik sejatiapabila untuk sebarang bilangan bulatberlaku,
- monoton turunapabila untuk sebarang bilangan bulatberlaku,
- monoton turun sejatiapabila untuk sebarang bilangan bulatberlaku,
Barisan terbatas
[sunting|sunting sumber]Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilaisedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku.Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilaisedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku.Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.
Kekonvergenan barisan
[sunting|sunting sumber]Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatufungsi jarak,barisandikatakankonvergen menujujika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya denganketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakandivergenapabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebutbarisan Cauchy.Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.
Lihat juga
[sunting|sunting sumber]- Net (topologi),perumuman barisan, dengan mengambil himpunan berarah sebagai daerah asalnya.
- On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Permutasi
- Kombinasi
- Relasi perulangan
- Sequence space
- Deret (matematika)
- Himpunan (matematika)
Jenis
[sunting|sunting sumber]Konsep terkait
[sunting|sunting sumber]Operasi
[sunting|sunting sumber]Referensi
[sunting|sunting sumber]- ^Kerami, Djari; Sitanggang, Cormentya (2003).Kamus Matematika.Jakarta: Balai Pustaka.
- ^Panggabean, A.B (2014).Kalkulus Tingkat Lanjut.Yogyakarta: Graha Ilmu.ISBN978-602-262-264-2.
- ^Spiegel, Murray R. (1986).Teori dan soal-soal matematika dasar.Diterjemahkan oleh Drs. Kasir Iskandar, M.Sc. Jakarta: Erlangga.OCLC975000500.
- ^Kulpers, L.; Meulenbeld, R.; Rawuh (1973).Permulaan Hitung Diferensial dan Integral IA.Jakarta: Pradnya Paramita.
- ^Afidah Khairunnisa (2018).Matematika Dasar.Depok: Rajawali Pers.ISBN978-979-769-764-8.
- ^abJulan Hernadi (2015).Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik.Jakarta: Erlangga.ISBN978-602-298-591-4.
- ^Endang Cahya; Makbul Muksar (2011).Analisis Real.Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.ISBN978-979-011-674-0.
- ^Hendra Gunawan (2016).Pengantar Analisis Real.Bandung: Penerbit ITB.ISBN978-602-7861-58-9.
Pranala luar
[sunting|sunting sumber]Definisi kamusbarisandi Wikikamus
- Hazewinkel, Michiel,ed. (2001) [1994],"Sequence",Encyclopedia of Mathematics,Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,ISBN978-1-55608-010-4
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Journal of Integer Sequences(free)
- (Inggris)sequence (ID: barisan)diPlanetMath.