Kurva

Kurva parabolamerupakan salah satu kurva yang paling sederhana.

Dalam matematika,kurvaadalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus. Dalam beberapa teks kuno, kurva juga disebutgaris lengkung.

Secara intuitif, kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides,Elements:"Garis [melengkung]adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan. "

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakanbayangan fungsidari suatuintervalkeruang topologiyang didasari padafungsi kontinu.Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (parametrization), dan kurva itu adalahkurva parametrik.Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebutkurvatopologi;istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (differentiable curve). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecualikurva level(yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dankurva aljabar.Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebutkurva implisit,karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan olehpersamaan implisit.

Walaupun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas. Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva, atau bahkan tidak dapat digambarkan. Kasus tersebut dapat ditemukan sepertikurva pengisi ruang(space-filing curve) dankurva fraktal.Supaya memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggapterdiferensialkan,dan kurva tersebut kemudian dikatakankurva terdiferensialkan.

Sejarah

Seni megalitikdari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai ka gian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah.Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.

Menurut sejarah, istilahgarisdigunakan sebagai pengganti istilahkurvayang lebih modern. Oleh karena itu, istilahgaris lurusdangaris siku-sikudigunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides,Elementsmengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garislurusdidefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."

Kurva topologi

Suatukurva topologidapat dinyatakan dengan suatufungsi kontinu$\gamma \colon I\rightarrow X$yang memetakan dariintervalIdaribilangan realkeruang topologiX.Kurva merupakanbayangandari$\gamma$.Akan tetapi,$\gamma$tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva, terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan$\gamma.$Sebagai contoh, bayangan darikurva Peano,atau lebih umumnyakurva pengisi ruang(space-filling curve) yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya, tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana$\gamma$didefinisikan.

Suatu kurva$\gamma$tertutupatauloopapabila$I=[a,b]$dan$\gamma (a)=\gamma (b)$.Dengan demikian, suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinulingkaran.Jikadaerah asaldari kurva topologi adalah tertutup dan interval$I=[a,b]$adalah terbatas, kurva dapat dikatakan suatulintasan(path) atau disebut juga busur (arc).

Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebutkurvaJordan.Kurva Jordan juga didefinisikan sebagailoopkontinu yang tidak saling berpotongan di bidang.Teorema kurva Jordanmengatakan bahwakomplemendi suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buahruang komponen terhubung,dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung.

Kurva terdiferensialkan

Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan (differentiable curve) adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal$\gamma \colon I\rightarrow X$yang dipetakan dari suatu interval$I$dari bilangan real ke manifold terdiferensialkanX.Ini sering kali dinyatakan$\mathbb {R} ^{n}.$

Panjang kurva

Jika$X=\mathbb {R} ^{n}$adalahruang Euklidesberdimensi-$n$,dan jika$\gamma:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$adalahfungsi injektifdan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari$\gamma$didefinisikan sebagai$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~{dt}.$$

Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi$\gamma$.Secara khusus, panjang$s$darigrafik fungsiyang terdiferensialkan secara kontinu$y=f(x)$yang didefinisikan pada interval tertutup$[a,b]$dirumuskan sebagai$$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~{dx}.$$

Lebih umum, jika$X$adalahruang metrikdengan metrik$d$,maka panjang kurva$\gamma:[a,b]\to X$dapat didefinisikan dengan$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{dan}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right).$$Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua$n$suatu bilangan asli dan semua partisi$t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$dari$[a,b]$.

Kurva berpanjang (rectifiable curve) adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva$\gamma:[a,b]\to X$disebutnatural(atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada$t_{1}$dan$t_{2}$di$[a,b]$sehingga$t_{1}\leq t_{2}$.Oleh karena itu, dipunyailah$$\operatorname {panjang} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$$

Jika$\gamma:[a,b]\to X$adalah fungsikontinu Lipschitz,maka fungsi tersebut secara langsungrectifiable(berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari$\gamma$pada$t\in [a,b]$dapat ditentukan sebagai$${\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$$dan kemudian diperlihatkan bahwa$$\operatorname {panjang} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{dt}.$$

Geometri diferensial

Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang (atau dalam sebutan umumnya, garis lengkung dalam ruang dua dimensi). Walaupun demikian, terdapat kurva dalam tiga dimensi, dan contoh kurva tersebut adalahheliks.Keperluan geometri dan juga contohnyamekanika klasik,harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalamrelativitas umum,garis duniaadalah kurva dalamruang waktu.

Jika$X$adalahmanifold terdiferensialkan,maka dapat didefinisikan gagasankurva terdiferensialkandalam$X$.Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika. Berdasarkan sudut pandang lokal, seseorang dapat memandang$X$sebagai ruang Euklides. Di sisi lain, seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikanvektor garis singgungke$X$dengan melalui pengertian kurva tersebut.

Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika$X$adalahmanifold mulus,kurva mulus di$X$adalahpemetaan mulus$$\gamma \colon I\rightarrow X.$$

Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika$X$adalah$C^{k}$manifold (sebagai contoh, manifold yangchartnya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak$k$kali), maka suatu$C^{k}$kurva dalam$X$adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi$C^{k}$(dalam artian, terdiferensialkan secara kontinu sebanyak$k$kali). Jika$X$adalahmanifold analitik(yaitu, terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagaideret kuasa) dan$\gamma$adalah peta analitik, maka$\gamma$dikatakan sebagai kurva analitik (analytic curve).

Suatu kurva terdiferensialkan dikatakanberaturan(regular) jika turunannya tidak pernah hilang; dengan kata lain, suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya. Terdapat dua$C^{k}$kurva terdiferensialkan, yaitu$\gamma _{1}\colon I\rightarrow X$dan$\gamma _{2}\colon J\rightarrow X$dikatakanekuivalenjika terdapat$C^{k}$pemetaanbijektif$p\colon J\rightarrow I$sehinggapemetaan invers$p^{-1}\colon I\rightarrow J$juga$C^{k}$,dan$\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))$untuk semua$t$.Pemetaan$\gamma _{2}$disebut reparametrisasi (reparametrization) dari$\gamma _{1}$,sehingga demikian himpunan semua$C^{k}$kurva terdiferensiasi dalam$X$dikatakanrelasi ekuivalensi.Suatu busur$C^{k}$adalahkelas ekuivalensidari$C^{k}$kurva di bawah relasi reparametrisasi.

Pranala luar

• Famous Curves Index,Sekolah Matematika dan Statistik, Universitas St Andrews, Skotlandia.
• Mathematical curvesKumpulan 874 kurva matematika dua dimensi.
• Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Artikel Ensiklopedia Matematika dalamgaris.
• Halaman Manifold Atlas pada1-manifold.