Nilai absolut

Grafik fungsi y=|x|, dengan xbilangan riil.

Dalammatematika,nilai absolut(juga dikenal dengannilai mutlakataumodulus) dari suatubilangan riil$x$,ditulis sebagai$|x|$,adalah nilai positif dari$x$tanpa disertaitandaapapun. Dengan kata lain,$|x|=x$jika$x$adalahbilangan positifataunol,dan$|x|=-x$jika$x$adalahbilangan negatif(sehingga$-x$bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari$3$adalah$|3|=3$,dan nilai mutlak dari$-3$juga adalah$|-3|=-(-3)=3$.Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagaijaraksuatu bilangan dari bilangan$0$.

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan riil muncul pada banyakobjekmatematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan padabilangan kompleks,kuartenion,gelanggang terurut,lapangan,danruang vektor.Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisibesaran,jarak,dannormadalam banyak konteks di fisika dan matematika.

Terminologi dan penulisan

Pada tahun 1806,Jean-Robert Argandmemperkenalkan istilahmodule,yang berartisatuan pengukurandalam bahasaPrancis,khususnya untuk nilai mutlakbilangan kompleks,dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagaimodulus.Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di Prancisdan 1857 diInggris.Penulisan$|x|$,dengan simbolgaris vertikaldi keduasisi,diperkenalkan olehKarl Weierstrasstahun 1841.

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan padahimpunan,simbol itu menandakankardinalitasnya;sedangkan jika digunakan padamatriks,itu menandakandeterminannya.Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memilikidefinisinilai mutlak, sepertibilangan riil,bilangan kompleks,ataukuaternion.Penulisan yang mirip namun berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuknorma Euklideanatausup normdi$\mathbb {R} ^{n}$,walau penulisan garis vertikal ganda ($||\cdot ||_{2}$dan$||\cdot ||_{\infty }$) lebih umum dan tidak ambigu.

Definisi dan sifat

Bilangan riil

Untuk setiapbilangan riil$x$,nilai mutlak bilangan tersebut dinyatakan dengan$|x|$($x$diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:$$|x|={\begin{cases}x,&{\mbox{jika }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{jika }}x<0.\end{cases}}$$

Dari definisi tersebut, nilai mutlak$x$akan selalu bernilaipositifatau nol, tetapi tidak pernahnegatif.Jika$x$bernilai negatif ($x<0$) maka nilai mutlaknya pasti positif ($|x|=-x>0$).

Dari sudut pandanggeometri analitik,nilai mutlak dari sebuah bilangan riil adalahjarakbilangan tersebut dari bilangan 0 padagaris bilangan riil.Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisifungsi jarakdalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat bagian"Jarak"dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah$$|x|={\sqrt {x^{2}}}$$karenaakar kuadratdari sebuah bilangan positif bernilai unik (tunggal).

Nilai mutlak memiliki empat sifat dasar berikut (denganadanbadalah bilangan riil), yang juga digunakan dalam memperumum definisi nilai mutlak ke objek-objek matematika lainnya:

$|a|\geq 0$	Non-negatif
$|a|=0\iff a=0$	Definit positif
$|ab|=|a|\,|b|$	Multiplikatif
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subadditivity,khususnyapertidaksamaan segitiga

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa$s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0$bernilai benar untuk$s=-1$atau$s=1$.Namun, karena$-1\cdot x\leq |x|$dan$1\cdot x\leq |x|$,mengakibatkan apapun nilai$s$yang dipilih, akan berlaku$s\cdot x\leq |x|$untuk setiap bilangan riil$x$.Akibatnya,$|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$,sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat"Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks"dibawah.)

Berikut adalah beberapa sifat nilai mutlak lainnya yang berguna. Sifat-sifat berikut adalah konsekuensi langsung dari definisi atau tersirat dari empat sifat dasar diatas.

${\big |}\,|a|\,{\big |}=|a|$	Idempoten(Nilai mutlak dari nilai mutlak adalah nilai mutlak)
$|-a|=|a|$	Fungsi genap(simetri terhadap pencerminan sumbu-y)
$|a-b|=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles(setara dengan sifat definit positif)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Pertidaksamaan segitiga(setara dengansubadditivity)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$(jika$b\neq 0$)	Berlakunya sifat permbagian (setara dengan multiplikatif)
$|a-b|\geq {\big |}\,|a|-|b|\,{\big |}$	Reverse triangle inequality(setara dengansubadditivity)

Dua sifat lain dari nilai mutlak terkait pertidaksamaan yang berguna adalah:$${\begin{aligned}|a|\leq b&\iff -b\leq a\leq b\\|a|\geq b&\iff a\leq -b\ {\text{ atau }}a\geq b\end{aligned}}$$Hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sebagai contoh:

${\begin{aligned}|x-3|\leq 9&\iff -9\leq x-3\leq 9\\&\iff -6\leq x\leq 12.\end{aligned}}$

Bilangan kompleks

Nilai mutlak pada bilangan kompleks$z$adalah jarak$r$dari$z$ke titik nol. Dari gambar juga terlihat bahwakonjugat kompleks${\bar {z}}$juga memiliki nilai mutlak yang sama.

Karenabilangan komplekstidakterurut,definisi nilai mutlak yang digunakan untuk bilangan riil tidak dapat digunakan secara langsung untuk bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak riil sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengantitik asaldibidang kompleks.Hal ini dapat dihitung menggunakanteorema Pythagoras:untuk setiap bilangan kompleks$$z=x+iy,$$dengan$x$dan$y$adalah bilangan riil,nilai mutlakataumodulusdari$z$yang diwakili sebagai$|z|$,didefinisikan sebagai$$|z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$$dengan$\mathrm {Re} (z)=x$dan$\mathrm {Im} (z)=y$masing-masing menyatakan bagian riil dan imajiner dari$z$.Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan riil$x$.Jika bilangan kompleks$z$dinyatakan dalambentuk polarsebagai${\textstyle z=re^{i\theta },}$nilai mutlaknya adalah${\textstyle |z|=r.}$

Karena sebarang bilangan kompleks$z$dankonjugat kompleksnya${\bar {z}}=x-iy$memiliki nilai mutlak yang sama, yakni bilangan riil non-negatif$(x^{2}+y^{2})$,nilai mutlak dari bilangan kompleks$z$juga dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari$z\cdot {\overline {z}},$ditulis secara matematis:$$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$$Definisi tersebut memperumum definisi alternatif pada bilangan riil:$|x|={\sqrt {x\cdot x}}.$

Nilai mutlak bilangan kompleks juga memenuhi empat sifat dasar dari nilai mutlak bilangan riil diatas.

Fungsi nilai mutlak

Grafik dari fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil.

Compositionof absolute value with acubic functionin different orders

Fungsi nilai mutlak bilangan riil bersifatkontinudimanapun. Fungsi ini jugaterturunkandimanapun kecuali di$x=0$.Selain itu, fungsimonoton turunpada selang$(-\infty,\,0]$,dan monoton naik pada selang$[0,\,\infty )$.Karena bilangan riil danlawannyamemiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakanfungsi genapsehingga tidakmemiliki invers.Fungsi nilai mutlak adalahfungsi konveksdanfungsi linearbagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil dan kompleks bersifatidempoten.

Hubungan dengan fungsi tanda

Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung padatandabilangan, sedangkanfungsi tandamenghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah:$$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$$dan untuk$x\neq 0,$$$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$$Turunan

Fungsi nilai mutlak memiliki turunan untuk semua$x\neq 0,$dantidak dapat diturunkanpada$x=0.$Turunannya untuk$x\neq 0$adalahfungsi tanggayang didefinisikan sebagai berikut:

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x>0.\end{cases}}$

Fungsi nilai mutlak adalah contoh fungsi kontinu yang memiliki titik minimum global, namun tidak memiliki turunan pada titik tersebut.

Fungsi nilai mutlak bilangan kompleks kontinu dimanapun, tetapi tidak terturunkan secara kompleks dimanapun, karena tidak memenuhipersamaan Cauchy–Riemann.

Turunan kedua dari$|x|$terhadap$x$bernilai 0 dimanapun kecuali di$x=0$(karena tidak memiliki turunan).

Antiturunan

Antiturunan (integral tak tentu) dari fungsi nilai mutlak riil adalah

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

dengan$C$adalah sebarangkonstanta integrasi.Akan tetapi, fungsi ini bukanlah integral kompleks tak tentu dari fungsi nilai mutlak, karena integral kompleks hanya terdefinisi untuk fungsi yang terturunkan secara kompleks (fungsi holomorfis); yang tidak dipenuhi oleh fungsi nilai mutlak kompleks.

Jarak

Lihat pula:Ruang metrik

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan riil maupun kompleks adalahjarakdari bilangan tersebut ke titik nol; padagaris bilangan riiluntukbilangan riil,dan padabidang kompleksuntukbilangan kompleks.Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Misalkan$a=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$dan$b=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n})$adalah titik dalamruang Euklides dimensi-n.Jarak Euklidesdiantara keduanya didefinisikan sebagai:$${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$$Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan riil$a_{1}$dan$b_{1}$(yang berada di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak akan berlaku hubungan$$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$$dan untuk bilangan kompleks$a=a_{1}+ia_{2}$dan$b=b_{1}+ib_{2}$(yang berada di ruang dimensi-2):$${\begin{aligned}|a-b|&=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|\\&=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|\\&={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}\\&={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.\end{aligned}}$$Keadaan di atas menunjukkan jarak "nilai mutlak", masing-masing pada bilangan riil dan kompleks, sesuai dengan definisi jarak Euklides standar; yang mereka "warisi" dengan memandang mereka sebagai ruang Euklides dimensi satu dan dimensi dua.

Sifat dari nilai mutlak dari selisih dua bilangan: non-negatif,identity of indiscernibles,simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada bahasan sebelumnya, digunakan untuk mendefinisikanfungsi jarakyang lebih umum berikut: fungsi bernilai riil$d$pada himpunan$X\times X$disebut sebagaimetrik(ataufungsi jarak) pada$X$,jika fungsi tersebut memenuhi empataksiomaberikut:

$d(a,b)\geq 0$	Non-negatif
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identity of indiscernibles
$d(a,b)=d(b,a)$	Simetri
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	pertidaksamaan segitiga

Perumuman

Gelanggang terurut

Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan riil dapat diperumum untuk sebaranggelanggang terurut.Dalam kasus ini, jika$a$adalah elemen dari gelanggang terurut$R$,makanilai mutlakdari$a$,yang ditulis sebagai$|a|$,didefinisikan sebagai:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{jika }}a\geq 0\\-a,&{\text{jika }}a<0.\end{array}}\right.$

dengan$-a$adalahinvers penjumlahandari$a$,0 adalahidentitas penjumlahan,dan$<$dan$\geq$masing-masing memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

Lapangan

Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan riil dapat digeneralisasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sebaranglapangan.Misalkan$F$lapangan. Suatu fungsi$v:F\rightarrow \mathbb {R}$dikatakannilai mutlak(disebut jugamodulus, nilai,atauvaluasi) jika$v$memenuhi empat aksioma berikut:

$v(a)\geq 0$	Nonnegatif
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Definit positif
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplikatif
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Pertidaksamaan segitiga

Di sini,$\mathbf {0}$menyatakanelemen identitaspenjumlahan di lapangan$F$.Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan$v(\mathbf {1} )=1$,dengan$\mathbf {1}$adalah elemen identitas perkalian di lapangan$F$.Nilai mutlak pada bilangan riil dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada lapangan.

Jika$v$adalah nilai mutlak pada lapangan$F$,fungsi$d:F\times F\rightarrow \mathbb {R}$yang didefinisikan sebagai$d(a,b)=v(a-b)$merupakanmetrik.Berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi$v$dan$d$:

• $d$memenuhi pertidaksamaanultrametrik$d(x,y)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$untuk setiap$x,y,z\in F$.
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$adalah subhimpunan terbatas dari$\mathbb {R}$.
• ${\textstyle v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right)\leq 1}$untuk sembarang bilangan asli$n$.
• $v(a)\leq 1\implies v(1+a)\leq 1$untuk sembarang$a\in F$.
• $v(a+b)\leq \max(v(a),v(b))$untuk setiap$a,b\in F$

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lainnya, disebut sebagai nilai mutlaknon-Archimedes.Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi satupun kondisi disebut sebagai nilai mutlakArchimedes.

Ruang vektor

Lihat pula:Norma (matematika)

Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan riil dapat dimodifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor. Fungsi bernilai riil${\textstyle \|\mathbf {x} \|}$padaruang vektor${\textstyle V}$atas lapangan${\textstyle F}$disebut nilai mutlak (tapi lebih umum disebut dengannorma), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Untuk setiap$k\in F$,$\mathbf {u},\mathbf {v} \in F$,berlaku

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Nonnegatif
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Definit positif
$\|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|$	Homogenitas positif
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Pertidaksamaan segitiga

Norma dari sebuah vektor juga disebut sebagaipanjangataumagnitudodari vektor tersebut.

Dalam kasusruang Euklides$\mathbb {R} ^{n}$,fungsi yang didefinisikan sebagai$$\|(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$$merupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan riil$\mathbb {R}$dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu$\mathbb {R} ^{1}$,nilai mutlak dapat dipandang sebagainorma.Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor$\mathbb {R} ^{1}$,dalam artian sembarang norma pada$\|\cdot \|$pada$\mathbb {R} ^{1}$dapat dilihat sebagai$\|x\|=\|1\|\cdot |x|$.

Nilai mutlak pada bilangan kompleks merupakan salah satu contoh norma pada ruang hasil kali dalam, yang identik dengan norma Euklides dengan meninjaubidang komplekssebagaibidang Euklides$\mathbb {R} ^{2}.$

Aljabar komposisi

Setiap aljabar komposisi$A$memiliki involusi$x\mapsto x^{*}$,dengan$x^{*}$adalahkonjugasidari$x$.Hasil kali di dalam aljabar komposisi$A$dari elemen$x$dengan konjugatnya$x^{*}$dituliskan sebagai$N(x)=xx^{*}$dan disebutnormadari$x$.

Himpunan bilangan riil$\mathbb {R}$,bilangan kompleks$\mathbb {C}$,dan kuarternion$\mathbb {H}$adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

Secara umum, norma dari aljabar komposisi dapat berupa bentuk kuadrat yang bukan definit dan memiliki vektor null. Akan tetapi, sebagaimana umumnya pada aljabar pembagian, jika elemen$x$memiliki norm tidak nol, maka$x$memilikielemen inversterhadap perkalian, yaitu$x^{*}/N(x)$.

Daftar pustaka

• Bartle; Sherbert;Introduction to real analysis(4th ed.), John Wiley & Sons, 2011ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.;An Imaginary Tale;Princeton University Press; (hardcover, 1998).ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff,Algebra,American Mathematical Soc., 1999.ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott,Schaum's Outline of Beginning Calculus,McGraw-Hill Professional, 2008.ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.;"Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric;Handbook of Analysis and Its Foundations,pp 259–263,"Absolute Values",Academic Press(1997)ISBN 0-12-622760-8.