Teorema binomial

Koefisien binomialdapat dilihat padasegitiga Pascaldimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya.

Dalamaljabar elementer,teorema binomialadalahteoremayang menjelaskan mengenai pengembanganeksponendari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (x+y)ⁿmenjadi sebuahpenjumlahandari suku-suku dengan bentukax^by^c,dimana eksponenbdancadalahbilangan bulat non negatifdenganb+c=n,dankoefisienadari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung padandanb.Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}y^{0}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,x^{0}y^{4}.$

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

Koefisienapada sukuax^by^cdikenal sebagaikoefisien binomial${\tbinom {n}{b}}$atau${\tbinom {n}{c}}$(keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasindanbdapat disusun membentuksegitiga Pascal.Angka-angka ini juga muncul dalamkombinatorika,dimana${\tbinom {n}{b}}$menunjukkan banyaknyakombinasiyang berbeda dariunsurbyang dapat dipilih dari suatuhimpunandengan unsur sebanyakn.

Sejarah

Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:

Abad ke-4 SM [[matematikawan Yunani]]Euklidesmenyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.Ada bukti bahwa teorema binomial untukkubustelah diketahui pada abad ke-6 diIndia.

Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilihkobjek darintanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalahChandaḥśāstrakarya penulis Hindu,Pingala(sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.^:230Seorang peneliti bernamaHalayudhadari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagaisegitiga Pascal.Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$,dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12LilavatikaryaBhaskara.

Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisanmatematikawan Persiaabad ke-11,Al-Karaji,yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.Ia juga memberikanpembuktian matematikadari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dariinduksi matematika.Penyari dan matematikawan PersiaUmar Khayyāmmungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernamaYang HuidanZhu Shijie.Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisanJia Xian,meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.^:142

Pernyataan teorema

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen darix+ymenjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$

dimana setiap${\tbinom {n}{k}}$adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagaikoefisien binomial.Rumus ini dikenal juga sebagairumus binomialatauidentitas binomial.Dengan menggunakannotasi penjumlahan,rumus itu dapat ditulis

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letakxdanydari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.

Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh denganmensubstitusiydengan 1, sehingga hanya terdapat satuvariabel.Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$

atau ekuivalen

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.$

Contoh

Segitiga Pascal

Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untukx+ykuadrat

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!$

Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi darix+ysesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:

${\begin{aligned}\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Perhatikan bahwa:

1. Eksponen dari$x$menurun hingga mencapai 0 ($x^{0}=1$) dengan nilai awal adalah n (n pada$(x+y)^{n}$).
2. Eksponen dari$y$naik dari 0 ($y^{0}=1$) hingga mencapai n (juga n pada$(x+y)^{n}$).
3. Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
4. Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan$2^{n}$.
5. Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan$n+1$.

Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,

${\begin{aligned}(x+4)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(4)+3x(4)^{2}+4^{3}\\&=x^{3}+12x^{2}+48x+64.\end{aligned}}$

Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus(x−y)ⁿ= (x+ (−y))ⁿ.Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!$

Penjelasan geometris

Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4

Untuk setiapadanbbernilai positif, teorema binomial dengann= 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisia+bdapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisia,sebuah bujur sangkar dengan sisib,dan duapersegi panjangdengan sisiadanb.Dengann= 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisia+bdapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisia,sebuah kubus dengan sisib,tiga buah kotak persegi panjang berdimensia×a×b,dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensia×b×b.

Dalamkalkulus,gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwaturunan$(x^{n})'=nx^{n-1}:$jika ditentukan$a=x$dan$b=\Delta x,$dengan menginterpretasibsebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalama,maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensin,$(x+\Delta x)^{n},$dengan suku koefisien linearnya (dalam$\Delta x$) adalah$nx^{n-1},$wilayah dengannpermukaan, dimensi masing-masing$(n-1):$

$(x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots.$

Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi –$(\Delta x)^{2}$dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus$(x^{n})'=nx^{n-1},$yang diinterpretasikan sebagai

"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisinbervariasi pada rentangndari permukaannya yang berdimensi$(n-1)$".

Referensi

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India".Indian J. History Sci.1(1): 68–74.
• Barth, N. R. (2004). "Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube".The American Mathematical Monthly.111(9): 811–813.doi:10.2307/4145193.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients".Concrete Mathematics(edisi ke-2nd). Addison Wesley. hlm.153–256.ISBN0-201-55802-5.OCLC17649857.