Heildun
Heildun(einnig þekkt semtegrunúr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinuintegration,sjásamheiti innan stærðfræðinnar) er sústærðfræðilegaaðgerð sem notuð er íörsmæðareikningitil þess að finnamarkgildiallra yfir- og undirsummafallsá tilteknubili.Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reiknaflatarmálsvæðisins á milliferilsfallsins og x-ássins (á tilteknu bili).
Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reiknaákveðið heildiá tilteknubilimeð því að finna fyrststofnfallfallsins sem heilda skal og taka síðanmismunstofnfallsins í endapunktum bilsins.
Dæmi: Fallið, sem heilda skal,:,á sér stofnfall,
,þar semcer óskilgreindurfasti.
(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)
Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrirlatneskaorðið ‚summa‘ enLeibnizskóp þetta tákn.
Andhverfaheildunar nefnistdeildun.
Skilgreining á óákveðnu heildi
[breyta|breyta frumkóða]Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.
Skilgreining á stofnfalli
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera raungiltfallaf einni raunbreytistærð.hefurstofnfalleffyrir öllþar semtáknarformengi.
Tilvist margra stofnfalla
[breyta|breyta frumkóða]Efer stofnfall,þá erlíka stofnfallþar semer einhverrauntölufasti.
Mengi allra stofnfalla falls
[breyta|breyta frumkóða]Efer stofnfall,þá er hægt að rita öll stofnföllá formþar semer einhver rauntölufasti.
Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi]
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera raungiltfallaf einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildiskilgreint sem mengi allra stofnfallaog mengið er táknað á eftirfarandi máta:
Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall]
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera raungiltfallaf einni raunbreytistærð með stofnfall.Þá er óákveðna heildiskilgreint á eftirfarandi máta:
þar semer einhver rauntölufasti.
Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunum
[breyta|breyta frumkóða]Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinumeð eitthvað stofnfaller:
en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:
.
Skilgreiningar á ákveðin heildi
[breyta|breyta frumkóða]Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.
Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.
Riemann heildi[1]
[breyta|breyta frumkóða]Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu]
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera skipting á.
Möskvastærðer skilgreind sem.
Uppsetning
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera takmarkað raungilt fall á,þ.e.a.s. það er tilþ.a.fyrir öll.
Látumvera skipting á.
Látumvera mengi allra Riemann summa fyrir fallog skiptingu.
Skilgreiningin
[breyta|breyta frumkóða]Falliðer Riemann-heildanlegt áef það er tilþ.a. fyrir öllþað er tilþ.a.fyrir allar Riemann summurmeð.
Ef talaner til, þá kallast hún Riemann heildiyfirog er táknuð sem.
Darboux heildi[1]
[breyta|breyta frumkóða]Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ[2].
Uppsetning
[breyta|breyta frumkóða]Látumvera takmarkað raungilt fall á,þ.e.a.s. það er tilþ.a.fyrir öll.
Látumvera skipting á.
Neðri og efri Darboux summur
[breyta|breyta frumkóða]Skilgreinum neðri Darboux summum.t.t.sem.
Skilgreinum efri Darboux summum.t.t.sem.
Neðri og efri Darboux heildi
[breyta|breyta frumkóða]Skilgreinum neðra Darboux heildisem.
Skilgreinum efra Darboux heildisem.
Skilgreiningin
[breyta|breyta frumkóða]er Darboux heildanlegt á bilief neðri og efri Darboux heildieru til og.Efer Darboux heildanlegt á bili,þá kallast talanDarboux heildiyfirog er táknuð sem.
Samband milli óákveðin og ákveðin heildi
[breyta|breyta frumkóða]Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnumundirstöðusetningu örsmæðareiknings.
Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildi
[breyta|breyta frumkóða]Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fallsem er samfellt á bilinu.Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllum:
Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.
þar semer einhver rauntölufasti.
Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildi
[breyta|breyta frumkóða]Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fallsem er Riemann-heildanlegt á bilinuog við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildiðmeð því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.
Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:
- Finna stofnfall með óákveðinni heildun:.
- Reikna ákveðna heildið með seinni undirstöðusetningunni:.
Heildunarreglur
[breyta|breyta frumkóða]- Náttúrlegavísisfalliðbreytist ekki þegar að það er heildað:
- Náttúrulegurlogriheildast þannig:
- Hlutheilduner þannig:
- Rúmmál snúðsfallsinsum X-ás er fundið með reglunni:
Dæmi
[breyta|breyta frumkóða]Heildum falliðmeð tilliti til x. Það er ritað þannig:
Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:
Þá getum við heildað skv reglunni:
þannig að:
svo niðurstaðan er:
Heildunaraðferðir
[breyta|breyta frumkóða]Tilvísanir
[breyta|breyta frumkóða]- ↑1,01,1Ross, Kenneth A. (2013).Elementary Analysis.Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York.doi:10.1007/978-1-4614-6271-2.ISBN978-1-4614-6270-5.
- ↑„6. Heildun — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018 “.edbook.hi.is.Afrit afupprunalegugeymt þann 18. mars 2020.Sótt 22. mars 2020.