Decadimento alfa

Infisica nucleareildecadimento alfaè quel tipo didecadimento radioattivoper cui unnucleo atomicoinstabile (radionuclide) di un datoelemento chimicodecade emettendo unaparticella α,ossia un nucleo di⁴He,trasmutandosiin un nucleo di un altro elemento. In tal modo ilnumero di massadel radionuclide viene ridotto di 4 unità e il suonumero atomicodi 2 unità; ilnuclidecosì prodotto può essere stabile così, o essere ancoraradioattivoe decadere a sua volta. Il decadimento alfa è tipico dei radionuclidi che presentano un eccesso diprotonirispetto ai neutroni.

Il decadimento alfa è unfenomeno fisicoche si basa sull'effetto tunnel,e quindi non spiegabile dallameccanica classica.

Descrizione

Ildecadimento alfaavviene in accordo con lalegge di conservazione della massa/energiacon l'emissione di una particella, detta appuntoparticella α,composta da dueprotonie dueneutroni,da unisotoporadioattivo di un elemento con elevato numero atomico (Z>83). In generale si può dire che il decadimento alfa è un processo probabilistico che trasforma un nucleo connumero di massa$A$(avente$Z$protoni e$N$neutroni) in un nucleo con numero di massa $A-4$tramite l'emissione di un nucleo di$^{4}{\hbox{He}}$secondo lo schema di reazione:

$A_{1}(Z,N)\;\to \;A_{2}(Z-2,N-2)+\alpha.$

Ilnumero dei protonipassa da da$Z$a$Z-2$e ilnumero dei neutronipassa da$N$a$N-2$.Perdendo due protoni, l'elemento indietreggia di due posizioni nellatavola periodicadegli elementi.

La stabilità dei nuclei atomici deglielementi transuraniciè uno dei campi di ricerca più attivi dellafisica nucleare.Il decadimento alfa è tipico di nuclei connumero di massa$A>210$.Dall'esame delle energie di decadimento alfa di svariati nuclidi (Q_α) è possibile determinare una casistica in base al valore che assume$A$:

• per valori di$A<140$Q_αè quasi sempre negativa, quindi il decadimento generalmente non avviene, anche se esistono due eccezioni per i nuclei delberillio($^{8}{Be}$) e delboro($^{9}{B}$);
• per$140<A<210$Q_αè positiva, ma molto piccola (< 3 MeV); ciò comporta una bassa probabilità di decadimento e conseguente difficoltà di rivelazione. Tuttavia, è noto il decadimento α dei due nuclei delgadolinio($^{162}{Gd}$) e dell'afnio($^{174}{Hf}$), contempi di dimezzamento$t_{1/2}>10^{14}a$;

• per$A>210$Q_αè positiva e grande (sopra i 3 MeV).

Decadimento alfa

Come molti processiquantistici,anche il decadimento alfa è descritto daleggi statistiche:la percentuale diatomiche, in un certo intervallo di tempo, subisce ildecadimento,è una costante. Per dare un'unità di misura standard, si indica solitamente il tempo in cui metà degli atomi di unisotoporadioattivo decadono. Tale periodo prende il nome diemivitadell'isotopo. Caratteristica del decadimento alfa è quella di avere emivite con un campo di variabilità molto ampio, da poche frazioni disecondoa migliaia di anni:

$10^{-7}s<t_{1/2}<10^{10}a,$

contrapposto a un ristretto campo di variabilità di energia liberata:

$4MeV<Q_{\alpha }<9MeV.$

Nella maggior parte dei casi, gli isotopi instabili subiscono decadimenti di vario tipo in successione, e pertanto si parla dicatena di decadimentodi un isotopo, intendendo la sequenza di decadimenti che tale atomo percorre. Quasi tutte le catene di decadimento finiscono con unisotopo stabiledelpiombo.

Lavita mediadi un elemento soggetto a questo tipo di decadimento è varia: si passa, infatti dagli oltre 10¹⁰annideltorio,alle frazioni disecondodelpolonio214 pari a 1,6 x 10⁻⁴s. Il decadimento più noto è però quello dell'uranio:

${}_{92}^{238}{\hbox{U}}\;\to \;{}_{90}^{234}{\hbox{Th}}\;+\alpha$

doveαindica laparticella αprodotta.

Il decadimento alfa è tipico degli isotopi radioattivi contenuti nellescorie nucleariprodotte nella reazione difissione nucleareche avvengono neireattori a fissione.

Teoria del decadimento alfa

La barriera coulombiana

La barriera coulombiana (in verde l'energia cinetica della particellaα)

La teoria che sta alla base di tale decadimento è stata sviluppata dalfisicoucrainoGeorge Gamowe si basa sull'effetto tunnel.

Si può prendere, come esempio di decadimento, quello delradio:

${}_{88}^{226}{\hbox{Ra}}\;\to \;{}_{86}^{222}{\hbox{Rn}}\;+\alpha$

dove$Rn$è ilradon,ilgas nobilesuccessivo alloxenon.

Prima di scendere nel dettaglio, si supponga di unireduenucleidideuterio:si otterrà una particella$\alpha$:ogni reazione di questo tipo dà un'energia di circa 10MeV.I due atomi, per unirsi, devono però superare la cosiddettabarriera coulombiana,che è anche la barriera che deve superare la particellaαper poter uscire dal nucleodecadente. Ora, chiamando con$m_{P}$lamassadel radio e con$m_{D}$quella del radon, si possono scrivere alcune relazioni energetiche:

$E_{tot}^{i}=m_{p}c^{2}$

$E_{tot}^{f}=m_{\alpha }c^{2}+m_{D}c^{2}+T_{\alpha }$

e per laconservazione dell'energia($E_{tot}^{i}=E_{tot}^{f}$):

$T_{\alpha }=((m_{P}\left)-(m_{\alpha }+m_{D}\right))c^{2}>0$

e quindi il decadimento avviene solo quando la massa del nucleo che decade (massa iniziale) è maggiore della somma delle masse dei nuclei prodotti.

Equazione di Schrödinger

Per studiare il decadimento, quindi, si fa intervenire l'equazione di Schrödinger:

$\left(H_{0}+V_{C}\right)\psi =E\psi$

dove$H_{0}$è l'hamiltonianache descrive l'energia cineticadi due particelle, con masse$m_{\alpha }$ed$m_{D}$.

Questoproblema a due corpipuò essere semplicemente descritto come un problema ad un corpo solo separando la parte del moto relativo da quella delcentro di massa,che non è interessante ai fini dell'interazione studiata. L'equazionediventa pertanto:

$\left({\frac {p^{2}}{2\mu }}+V_{C}\right)\psi =E\psi$

dove:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\mu }}&={\frac {1}{m_{\alpha }}}+{\frac {1}{m_{D}}}\\{\vec {p}}&={\frac {m_{D}{\vec {p}}_{\alpha }-m_{\alpha }{\vec {p}}_{D}}{m_{D}+m_{\alpha }}}\end{aligned}}$

(nelle quali abbiamo indicato con$\mu$lamassa ridottae con${\vec {p}}$laquantità di moto),

e nella notazione ad operatori diSchrödingersi ottiene:

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V_{C}\right)\psi =E\psi$

che può essere scritta incoordinate sferiche,poiché anche lo stesso potenziale dipende solo da$r$:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+V_{C}\right]\psi (r,\theta,\varphi )=E\psi (r,\theta,\varphi )$

Lafunzione d'onda$\psi$,soluzione dell'equazione, può essere scritta come il prodotto di una funzione$u$della sola posizione per unaarmonica sferica,ovvero un'autofunzionedell'operatore momento angolare$L^{2}$:

$L^{2}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l}^{m}$

e quindi l'equazione di Schrödinger diventa:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}+V_{C}\right]u(r)=Eu(r)$

che può essere ulteriormente semplificata introducendo la funzione$\chi (r)=r\cdot u(r)$:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}l(l+1)+V_{C}\right]\chi (r)=E\chi (r)$

Inonda S(onda sferica,con$l$=0), trovare le$\chi$soluzioni si riduce a risolvere la seguenteequazione differenziale:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\chi (r)-K^{2}(r)\chi (r)=0$

con

$K^{2}(r)={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)$

Se$K(r)$non fosse unafunzionedella posizione, la soluzione sarebbe semplicemente del tipo:

$\chi (r)=A\operatorname {e} ^{-k\cdot r}$

ma in questo caso anche la fase sarà una funzione di$r$:

$\chi (r)=A\operatorname {e} ^{f(r)}$

ottenendo un'equazione differenziale per$f$:

$-{\frac {\operatorname {d} ^{2}f}{\operatorname {d} r^{2}}}+\left({\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} r}}\right)^{2}-k^{2}=0$

Risolvere in maniera esatta questaequazioneè molto difficile (per non dire impossibile): esistono però alcuni metodi di approssimazione, come ilWKBo, più semplicemente, trascurando la derivata seconda di$f$rispetto ad$r$(essa è certamente più piccola rispetto al quadrato della derivata prima). In questo caso è semplice verificare che

$f(r)=\int k(r')\operatorname {d} r'$

è soluzione.

Ora, poiché l'armonica sferica di ordine 0$Y_{0}^{0}$è:

$Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}$

sostituendo la$f$nella$\chi$e quest'ultima nella$u$e quindi il tutto nella$\psi$,si può finalmente scrivere la soluzione dell'equazione di Schrödinger di partenza:

$\psi (r)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}{\frac {A}{r}}\operatorname {e} ^{-\int K(r')\operatorname {d} r'}$

Il fattore di Gamow

È proprio grazie alla funzione d'onda trovata che si riesce a scrivere il cosiddettofattore di Gamow:della dinamica del decadimento, infatti, siamo interessati solo alla fase iniziale ($r=R$- quando inizia il decadimento) e a quella finale ($r=r_{0}$- la fine del tunnel); e quindi:

${\frac {\psi (r=r_{0})}{\psi (r=R)}}={\frac {R}{r_{0}}}\operatorname {e} ^{-\int _{R}^{r_{0}}K(r)\operatorname {d} r}$

Il fattore di Gamow è legato alcoefficiente di trasmissioneopenetrazione,in quanto quest'ultimo è definito come il quadrato del primo:

$T={\frac {\left|\psi (r_{0})\right|^{2}}{\left|\psi (R)\right|^{2}}}={\frac {R^{2}}{r_{0}^{2}}}\operatorname {e} ^{-2\int _{R}^{r_{0}}K(r)\operatorname {d} r}$

Vita media

Esso è a sua volta legato allavita mediadel decadimento attraverso la rapidità:

$\Gamma ={\frac {T}{\tau _{n}}}$

dove

${\frac {1}{\tau _{n}}}={\frac {\hbar }{R^{2}m_{p}}}$

che è lafrequenzacon la quale la particella$\alpha$va contro la parete del potenziale.

Quindi, per stimare la vita media$\tau$del decadimento bisogna calcolare la rapidità dello stesso:

$\Gamma ={\frac {1}{\tau }}={\frac {\hbar }{r_{0}^{2}m_{p}}}\operatorname {e} ^{-2{\frac {\sqrt {8m}}{\hbar }}\int _{R}^{r_{0}}{\sqrt {V(R)-E}}\operatorname {d} r}$

dove al posto della massa ridotta$\mu$si è sostituito 4 volte$m$,massadelnucleone,poiché generalmente, per masse$m_{D}$molto grandi (come spesso avviene) la massa ridotta è circa quella della particella$\alpha$.

Questa vita media, in generale, varierà in dipendenza del tipo di nuclei che decadono e della quantità iniziale di energia cinetica posseduta dal nucleo di elio prodotto. Da studi fatti, sono peraltro emerse delle correlazioni tra vita media, energia cinetica delle particelle$\alpha$emesse, numero di massa e numero atomico:

• per una famiglia di isotopi (cioè con numero atomico$Z$fissato), si ha che all'aumentare delnumero di massa$A$l'energia cinetica$T_{\alpha }$delle particelle$\alpha$emesse decresce e la vita media aumenta
• per una famiglia diisobari(cioè con$A$costante), si ha che all'aumentare di$Z$l'energia cinetica delle particelle$\alpha$risulta crescente e la vita media risulta invece decrescente
• la vita media diminuisce quando aumenta l'energia cinetica$T_{\alpha }$.

Bibliografia

• Giorgio Bendiscioli,Fenomeni Radioattivi,Springer, 2013,ISBN978-88-470-0803-8.
• Nicola Manini,Introduction to the Physics of Matter,Springer, 2014,ISBN978-3-319-14381-1.

Voci correlate

• Radioattività
• Decadimento beta
• Decadimento gamma

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commonscontiene immagini o altri file sudecadimento alfa

Collegamenti esterni

• (EN)alpha decay,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	GND(DE)4142015-9