Tautologia

Unatautologia(dalgrecoταυτολογία, composto di ταὐτόlo stesso— τόloe αὐτόstesso— e λογία perλόγοςdiscorso), inlogica,è un'affermazioneveraperdefinizione,quindi fondamentalmente priva di valore informativo (ad es. "Domani o piove oppure non piove" ). Le tautologie logiche ragionano circolarmente attorno agli argomenti o alle affermazioni.

Inlinguistica,la tautologia è unafigura retoricache consiste nell'aggiunta di contenuto ridondante e dal significato ripetitivo all'interno di un dato discorso al fine di porre maggiore enfasi. Spesso indica anche un'ovvietà: per esempio dire cheuna tautologia è una tautologiaè senza dubbio tautologico, oppure, senza usare proposizioni ricorsive, è tautologico dire che per loro naturai logici fanno ragionamentirazionali.

Tautologie logiche

Una tautologia (tauteo) è un'affermazione vera per qualsiasivalore di veritàdegli elementi che la compongono. Per esempio, l'affermazione "Tutti i corvi sono neri, oppure c'è almeno un corvo che non lo è", è una tautologia perché è vera sia nel caso in cui i corvi siano neri sia nel caso in cui non tutti lo siano. Un ironico ma ben chiaro esempio è la seguente definizione:tautologiaè "ciò che è tautologico" (La quale definizione, evidentemente, è tautologica). Coerentemente con il contesto possiamo affermare con sicurezza cheinWikipediatroviamo una definizione enciclopedica di una voce, oppure no.

L'opposto della tautologia è lacontraddizione,un'affermazione che è sempre falsa per qualsiasi valore di verità ( "vero", "falso" ) delle sue componenti.

Le tautologie sono spesso utilizzate per introdurre in un discorso un particolare tipo di fallacia, la cosiddettaaringa rossa,ma le due fattispecie non sono equivalenti.

Le tautologie sono poste alla base di ogni conoscenza matematica poiché sono lo strumento fondamentale per la dimostrazione deiteoremi.Infatti ogni dimostrazione cerca di ricondurre il teorema a una tautologia per dimostrarne la verità o a unacontraddizioneper dimostrarne la falsità. Pure lo stesso procedimento di dimostrazione trova il suo fondamento nelle tautologie e nelle contraddizioni, ad esempio il modus ponens aristotelico (se l'ipotesi è vera e l'ipotesi implica la tesi allora la tesi è vera) giustifica la dimostrazione per ipotesi cartesiane.

Alcune tautologie notevoli

Le tautologie sono dette anche leggilogico-enunciative.Sono esempi di proposizione vere a prescindere dal valore di verità delle variabili enunciative:

$A\rightarrow A$ legge dell'identità
$\neg (\neg A)\leftrightarrow A$ legge della doppia negazione
$A\vee A\leftrightarrow A$ legge di idempotenza
$A\vee \neg A$ legge del terzo escluso
$\neg (A\wedge \neg A)$ legge di non contraddizione
$(A\rightarrow B)\leftrightarrow (\neg B\rightarrow \neg A)$ legge di contrapposizione
$(A\wedge (A\rightarrow B))\rightarrow B$ modus ponenso legge di disgiunzione^[1]
$(\neg B\wedge (A\rightarrow B))\rightarrow \neg A$ modus tollens
$[(A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow C)]\rightarrow (A\rightarrow C)$ sillogismoipotetico oppure noto comeproprietà transitivadell'implicazione o legge di modus barbara^[1]o legge di deduzione a catena^[1]
$A\wedge (B\wedge C)\leftrightarrow (A\wedge B)\wedge C$ proprietà associativa di $\wedge$
$A\vee (B\vee C)\leftrightarrow (A\vee B)\vee C$ proprietà associativa di $\vee$
$A\wedge B\leftrightarrow B\wedge A$ proprietà commutativa di $\wedge$
$A\vee B\leftrightarrow B\vee A$ proprietà commutativa di $\vee$
$A\wedge (B\vee C)\leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione
$A\vee (B\wedge C)\leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)$ proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione, di cui sono casi particolari notevoli le leggi di assorbimento:
- $A\vee (A\wedge B)\leftrightarrow A$ ,
- $A\wedge (A\vee B)\leftrightarrow A$
$A\wedge \neg A\rightarrow B$ prima legge diPseudo Scoto^[2]oex falso quodlibet
$A\rightarrow (\neg A\rightarrow B)$ seconda legge di Pseudo Scoto
$A\wedge B\leftrightarrow \neg (\neg A\vee \neg B)$ primalegge di De Morgan
$A\vee B\leftrightarrow \neg (\neg A\wedge \neg B)$ secondalegge di De Morgan
$((A\rightarrow B)\rightarrow A)\rightarrow A$ legge di Peirce
$(\neg A\rightarrow A)\rightarrow A$ consequentia mirabilis

Latavola di veritàpertanto non è solo una procedura effettiva (meccanica e automatica) per calcolare la verità/falsità di un enunciato in un tempo e numero di passi finiti, ma è anche un potente strumento per la ricerca di leggi logiche formali universalmente valide, potenzialmente esplorabili con l'intelligenza artificiale e reti di autoapprendimento.

Note

^^a^b^cFritz Reinhardt e Heinrich Soeder,Atlante di matematica,Milano, Hoepli, 1993,ISBN 88-203-2050-9.
^tradizionalmente attribuita aScotosebbene in realtà sia opera di un autore sconosciuto