Teoria di Yang-Mills

Infisica teorica,conteoria di Yang-Millssi intende unateoria di gaugebasata su ungruppo unitario speciale.Questo tipo di teoria è alla base dellacromodinamica quantisticae dellateoria elettrodebole,risultando perciò centrale nella struttura matematica delmodello standard.

Prende il nome daChen Ning YangeRobert Millsche ne formularono i principi nel 1954.

Concetti generali ed evoluzione dell'idea

La maggior parte delle teorie della fisica sono descritte dalagrangianeinvarianti sotto certetrasformazionidelsistema di coordinateche sono eseguite identicamente in ogni punto dellospaziotempo;si dice quindi che presentanosimmetrieglobali.Il concetto alla base delle teorie di gauge è che le lagrangiane possiedano anche simmetrie locali, cioè che sia possibile effettuare queste trasformazionilocalmentein una particolare e limitata regione dellospaziotempo,senza interessare il resto dell'universo(a patto che le azioni da un punto all'altro siano indipendenti).

Lo scopo di Yang e Mills era quello di estendere il concetto originale di teoria di gauge per ungruppo abeliano,come è l'elettrodinamica quantistica,al caso di un gruppo non abeliano, in modo da fornire una formulazioneinvariantedelleinterazioni fortibasata sull'isospin.L'idea inizialmente non ebbe successo poiché per mantenere l'invarianza di gaugeiquantidel campo di Yang-Mills dovevano essere privi di massa e di conseguenza avere effetto a lunga distanza, cosa che non corrisponde alle evidenze sperimentali. Perciò la teoria fu accantonata fino all'inizio deglianni sessanta,quando fu introdotta, inizialmente daJeffrey Goldstone,Yōichirō NambueGiovanni Jona-Lasinio,l'idea dirottura spontanea di simmetria,grazie alla quale le particelle teoricamente non massive acquistano massa in modo compatibile con l'invarianza di gauge.

Questo implicò una significativa ripartenza degli studi della teoria di Yang-Mills, che si dimostrò di successo nella formulazione sia dellateoria elettrodeboleche dellacromodinamica quantistica(QCD). La QCD è descritta dal gruppoSU(3),mentre la teoria elettrodebole è stata ottenuta combinandoSU(2)conU(1)(che è il gruppo che descrive l'elettrodinamica quantistica), così da ottenere ilcampo fotonico.

Il modello standard combina leinterazioniforte,deboleedelettromagneticaattraverso il gruppo di simmetria SU(2)×U(1)×SU(3). L'interazione forte non è al momento unificata con le altre due, ma in un esperimento effettuato alLEPsi è dimostrato che lecostanti di accoppiamentoconvergono ad un unico valore ad alte energie, assumendo che valga una simmetria di ordine superiore come lasupersimmetria.

La fenomenologia alle basse energie della cromodinamica quantistica non è inclusa in modo completo nel Modello standard a causa delle difficoltà nel trattare tale teoria con forteaccoppiamento.Perciò ilconfinamento dei quarknon è dimostrato teoricamente, ma solo visto negli esperimenti. Il problema dell'esistenza di Yang-Mills e del gap di massaè un problema matematico di grande rilevanza, tanto che è stato istituito un premio dall'Istituto Matematico Clayper chi riesca a dimostrare che una teoria di Yang-Mills esista e abbia ungap di massa(unamassa minimanon nulla nello spettro a basse energie).

Introduzione matematica

Leteorie di Yang-Millssono una classe di teorie di gauge specificate dalla lagrangiana

$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{2})=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a}$

dove, se i generatori delgruppo di Liesoddisfano

$\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}$

e laderivata covarianteè definita come

$\ D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a}$

con$I$l'identità per i generatori del gruppo di gauge,$A_{\mu }^{a}$ilpotenziale vettore,g lacostante di accoppiamentoche in quattro dimensioni è un numero puro e per un gruppo tipo SU(N) è$a,b,c=1\ldots N^{2}-1$,allora iltensoredi campo

$\ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

può essere derivato immediatamente attraverso ilcommutatore

$\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}.$

Il campo ha perciò la proprietà di autointeragire e le equazioni del moto che così si ottengono si dicono semilineari in quanto presentano non linearità sia con derivate del campo che senza. Questo comporta che il trattamento di questa teoria è attualmente possibile solo con metodi di tipo perturbativo quando le non linearità possono essere trattate come una piccola perturbazione (vediteoria perturbativa).

Da notare che gli indici di gruppo$a,b,c,\ldots$non distinguono tra sopra e sotto (es.$f^{abc}=f_{abc}$) mentre per quelli greci$\mu,\nu,\ldots$si utilizza la metrica lorentziana$\eta =\operatorname {diag} (+---)$.

Le equazioni della teoria libera di Yang-Mills si ottengono dallalagrangianadata come

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0.$

Ponendo$F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}$,si possono riscrivere come

$\,(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.$

Vale l'identita di Bianchi

$\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0.$

In presenza di correnti$J_{\mu }^{a}$le equazioni del moto hanno la forma

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}.$

Da notare che le componenti delle correnti devono cambiare appropriatamente sotto le trasformazioni del gruppo di gauge.

La quantizzazione del campo di Yang-Mills

Regole di Feynman per la costruzione degliomonimi diagrammi

Il modo più appropriato per quantizzare il campo di Yang-Mills è attraverso il metodo funzionale, ossia l'integrale sui cammini.Si introduce unfunzionale generatoreper le funzioni ad n-punti nel modo seguente

$\ Z[j]=\int [dA]\exp \left(-{\frac {i}{4}}\int d^{4}x\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+i\int d^{4}xj_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)\right)$

ma questo integrale non esiste così com'è e la ragione risiede nel fatto che possiamo definire il potenziale vettore in infiniti modi a causa della libertà nella scelta della gauge. Questo problema è già noto nel caso dell'elettrodinamica quantistica,ma qui diventa più severo a causa delle proprietà non-abeliane del gruppo di gauge. La via di uscita è stata determinata da Faddeev e Popov con l'introduzione di uncampo ghostche ha la caratteristica di non essere fisico, poiché segue lastatistica di Fermi-Diracpur essendo uncampo scalarecomplesso, ossia viola il legame tra spin e statistica. In questo modo è possibile scrivere il funzionale generatore come

${\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\int [dA][d{\bar {c}}]&[dc]\exp \left(\left[-{\frac {i}{4}}\int d^{4}x\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })-i\int d^{4}x({\bar {c}}^{a}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g{\bar {c}}^{a}f^{abc}\partial _{\mu }A^{b\mu }c^{c})-i\int d^{4}x{\frac {1}{2\alpha }}(\partial \cdot A)^{2}\right]\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(i\int d^{4}xj_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int d^{4}x[{\bar {c}}^{a}(x)\varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)c^{a}(x)]\right)\end{aligned}}$

che è la forma utilizzata per derivare le regole di Feynmane dove$c^{a}$è il campoghost di Faddeev-Popove$\alpha$determina il tipo di gauge in cui si vuole effettuare la quantizzazione. Le regole di Feynman per calcolare le ampiezze dei vari processi che si ottengono da questo funzionale in figura. Queste regole per idiagrammi di Feynmansi ottengono facilmente quando vediamo che il suddetto funzionale generatore può essere riscritto come

${\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-ig\int d^{4}x{\frac {\delta }{i\delta {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\exp \left(-ig\int d^{4}xf^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\delta }{\delta j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{c\nu }(x)}}\right)\times {}\\&\qquad \exp \left(-i{\frac {g^{2}}{4}}\int d^{4}xf^{abc}f^{ars}{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j_{\nu }^{c}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{s\nu }(x)}}\right)Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}$

dove

$\ Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int d^{4}xd^{4}y{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)C^{ab}(x-y)\varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\frac {1}{2}}\int d^{4}xd^{4}yj_{\mu }^{a}(x)D^{ab\mu \nu }(x-y)j_{\nu }^{b}(y)\right)$

è ilfunzionale generatoredella teoria libera. Sviluppando in$g$e calcolando le derivate funzionali, possiamo ottenere tutte le funzioni ad n-punti con la teoria delle perturbazioni. Usando laformula di riduzione LSZotteniamo le ampiezze dei processi dati dalle funzioni ad n-punti e quindi lesezioni d'urtoe levite medie.La teoria èrinormalizzabilee le correzioni sono finite a tutti gli ordini della teoria delle perturbazioni.

Nel caso dell'elettrodinamica quantistica,essendo questa caratterizzata da una simmetria dovuta al gruppo U(1), che èabeliano,il campo ghost non si accoppia. Questo può essere visto facilmente osservando l'accoppiamento tra il campo di gauge e il campo ghost che è

${\bar {c}}^{a}f^{abc}\partial _{\mu }A^{b\mu }c^{c}$.

Nel caso abeliano tutte lecostanti di struttura$f^{abc}$sono nulle e quindi non c'è accoppiamento. Nel caso non-abeliano questo campo appare dunque un utile mezzo per riscrivere la teoria dei campi quantistici senza conseguenze fisiche, ossia non si hanno effetti sulle grandezze osservabili calcolabili con la teoria, come le ampiezze discatteringo i rate di decadimento.

Uno dei risultati più importanti ottenuti per la teoria di Yang-Mills è la cosiddettalibertà asintotica.Questo risultato si ottiene assumendo lacostante di accoppiamentopiccola (dunque piccole non linearità), come accade alle alte energie, applicando lateoria perturbativa.L'importanza di questo risultato è legata al fatto che una teoria di Yang-Mills descrive leinterazioni fortie la libertà asintotica permette di descrivere correttamente i risultati sperimentali relativamente alloscattering anelastico profondo.

Per determinare il comportamento ad alte energie del campo di Yang-Mills, e quindi dimostrare che è asintoticamente libero, si esegue un calcolo perturbativo assumendo che la costante di accoppiamento$g$sia piccola e si verifica a posteriori che questo è vero nel limite ultravioletto, ossia delle alte energie. Nel limite opposto, limite infrarosso, la situazione è completamente diversa poiché la costante di accoppiamento è troppo grande perché lateoria delle perturbazionisia affidabile.

Di fatto, la maggior parte delle difficoltà che incontrano le attuali ricerche nascono dal trattare la teoria alle basse energie, che è il caso più interessante essendo inerente alla descrizione dellamateria adronicae, più in generale, a tutti gli stati legati osservati digluoniequarked il loroconfinamento.Il metodo maggiormente utilizzato nel limite delle basse energie è quello di trattare la teoria su un computer, come nel caso delleteorie di gauge su reticolo.In questo caso sono necessarie grandi risorse di calcolo per essere sicuri che sia ottenuto il limite di volume infinito (spaziatura del reticolo sempre più piccola). Questo è il limite con cui i risultati vanno confrontati.

Piccola spaziatura e accoppiamento forte non sono indipendenti e per ottenere entrambi sono richieste risorse di calcolo sempre maggiori. Ad oggi, la situazione appare alquanto soddisfacente per lo spettro adronico e il calcolo deipropagatorigluonico e ghost, ma gli spettri diglueballe dimesoni esoticisono ancora una materia dibattuta anche in vista di un'osservazione sperimentale di questi stati esotici. Di fatto, la risonanza$\sigma$non è vista in nessun calcolo sul reticolo e su tale stato sono state proposte interpretazioni contrastanti. Questa è attualmente materia di forti discussioni.

Bibliografia

• George Svetlichny,Preparation for Gauge Theory,una introduzione agli aspetti matematici
• David Gross,Gauge theory - Past, Present and Future,note da una conferenza
• Cheng, T.,Li, L.,Gauge Theory of Elementary Particle Physics,Oxford University Press,1983,ISBN 0-19-851961-3
• P. Cotta-Ramusino,Geometria differenziale e teorie di gauge,note per il corso di Fisica Matematica I

Voci correlate

• Cromodinamica quantistica
• Diagramma di Feynman
• Elettrodinamica quantistica
• Propagatore
• Teoria di gauge

Collegamenti esterni

• Teoria di Yang-Mills su Dispersive Wiki,sudispersivewiki.org.URL consultato l'11 novembre 2018.
• The Clay Mathematics Institute,suclaymath.org.
• The Millennium Prize Problems,suclaymath.org.URL consultato l'11 novembre 2018(archiviato dall'url originalel'11 novembre 2018).