Variabile casuale

Inmatematica,e in particolare nellateoria della probabilità,unavariabile casuale(detta anchevariabile aleatoriaovariabile stocastica) è unavariabileche può assumere valori diversi in dipendenza da qualchefenomeno aleatorio.Ad esempio, il risultato del lancio di un dado bilanciato a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori $1,2,3,4,5,6$ e ogni valore ha probabilità $1/6$ di presentarsi.

Il termine «aleatorio» deriva dal latinoalea(gioco di dadi^[1]) ed esprime il concetto di rischio calcolato. La denominazione alternativastocasticoè stata introdotta daBruno de Finetti^[2].Il termine «casuale» deriva dal latinocasualis.

Storia

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nelFedonediPlatone:

««E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»»

Definizione

Più formalmente, dato unospazio di probabilità $(\Omega,{\mathcal {F}},\nu )$ (dove ${\Omega }$ è uninsiemedettospazio campionarioo insieme deglieventi, ${\mathcal {F}}$ è unasigma-algebrasu ${\Omega }$ e $\nu$ è unamisura di probabilità) e dato unospazio misurabile $(E,{\mathcal {E}})$ ,una $(E,{\mathcal {E}})$ -variabile aleatoria è unafunzione misurabile $X\colon \Omega \to E$ dallo spazio campionario ad $E$ .

In questa definizione si intende che unafunzione $X$ è misurabile se per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ si ha che $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ .Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita daLindgren(1976): una funzione $X$ definita sullo spazio campionario ${\Omega }$ si dice misurabile rispetto alcampo di Borel ${\mathcal {B}}$ se e solo se l'evento $\{\omega \in \Omega:X(\omega )\leq \lambda \}$ appartiene a ${\mathcal {B}}$ per ogni ${\lambda }$ .

Se $E$ è unospazio topologicoe ${\mathcal {E}}$ è lasigma-algebra di Borelallora $X$ è detta anche $E$ -variabile aleatoria. Inoltre se $E=\mathbb {R} ^{n}$ allora $X$ è detta semplicemente variabile aleatoria.

In altre parole una variabile aleatoria $X$ è unmodoper indurre unamisura di probabilitàsullospazio misurabiledi arrivo $E$ a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi $\Omega$ .

Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in $\mathbb {R}$ ) si dicono semplici o univariate.
Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, $k$ -uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametrot(dovetsta solitamente pertempo) vengono considerateprocessi stocastici.

Distribuzione di probabilità

Lamisura di probabilitàindotta sullospazio misurabiledi arrivo $(E,{\mathcal {E}})$ da una variabile aleatoria $X$ ,a partire dalla misura di probabilità $\nu$ su $(\Omega,{\mathcal {F}})$ ,è detta la distribuzione, o legge, di probabilità, di $X$ ,è indicata con $P_{X}$ ed è definita nel seguente modo

P_{X}(A):=\nu (X^{-1}(A)),

per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ .Essa è ben definita proprio perché $X^{-1}(A)\in {\mathcal {F}}$ per ogni $A\in {\mathcal {E}}$ .Quando la variabile aleatoria è chiara dal contesto spesso si omette il pedice $X$ .Per brevità, invece di scrivere $\nu (X^{-1}(A))$ o $\nu (\{\omega \in \Omega:X(\omega )\in A\})$ spesso si usa la notazione

P_{X}(A)=P(X\in A).

Per variabili aleatorie a valorireali,la legge di probabilità della variabile casuale $X$ è chiamatafunzione di ripartizioneed è definita come $F(x)=P(X\leq \ x)$ .

In generale le distribuzioni di probabilità sono divise in due classi:

se la variabile casuale $X$ è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o immagine di $X$ ) èfinitoonumerabile,la distribuzione di probabilità è unadistribuzione discretaed è chiamatafunzione di massa(ofunzione massa di probabilitàodensità discreta):

p(x)=P(X=x)

se la variabile casuale $X$ è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha lapotenza del continuo,la distribuzione di probabilità è unadistribuzione continuaed è definita come:

P(X\in A)=\int _{A}f(x)dx

dove

f

è una funzione non negativa chiamatafunzione di densità di probabilità.

Descrivere un fenomeno aleatorio, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come ilvalore attesoe lavarianza.

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi,discreteecontinue(o assolutamente continue): Esempi del primo tipo:

variabile casuale uniforme discreta
variabile casuale bernoulliana,caso particolare della Binomiale
variabile casuale binomiale
variabile casuale poissonianadetta pure "legge degli eventi rari"
variabile casuale geometrica,caso particolare delladistribuzione di Pascal
variabile casuale ipergeometrica
variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

variabile casuale normale o gaussiana
variabile casuale Gamma o Erlanghiana
variabile casuale t di Student
variabile casuale di Fisher-Snedecor
variabile casuale esponenziale negativa,caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Chi Quadrato χ²,caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Beta
variabile casuale rettangolare o uniforme continua
variabile casuale di Cauchy

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, dellevariabili casuali singolariocontinue singolari,come lavariabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresentazione diLebesgueci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile comecombinazione convessadi una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dettemiste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto allaconvergenza in distribuzione,cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.