Modello matematico

Unmodello matematicoè una rappresentazionequantitativadi unfenomenonaturale. Come tutti gli altri modelli usati nellascienza,il suo scopo è quello di rappresentare il più incisivamente possibile un determinato oggetto, un fenomeno reale o un insieme di fenomeni (modello matematico di unsistema fisico,sistema chimicoosistema biologico). Il modello è una rappresentazione di quello che immaginiamo essere la realtà, in grado di prevedere le misure sperimentali.

Ilsistemadelleequazioni di Maxwellcostituisce un modello formale che descrive ifenomeni elettromagnetici

Tutti i settori dellascienza,ma non solo, fanno largo uso di modelli matematici per rappresentare nozioni fisiche o misure sperimentali. Gli strumenti matematici usati possono essere i più disparati, dallacombinatoriaalcalcolo infinitesimale:per molti fenomeni per esempio una descrizione molto sintetica e intuitiva è formulabile immediatamente tramite delleequazioni differenziali.

Descrizione

Struttura di un modello

Un modello matematico è spesso costruito con lo scopo di fornireprevisionisullo 'stato' futuro di un fenomeno o di un sistema. Spesso i termini 'modello' e 'sistema' sono interscambiabili dal punto di vista matematico-formale. Generalmente, il modello descrive la probabile evoluzione di un fenomeno o di un sistema sulla base di dati iniziali (condizioni iniziali) forniti dall'utente (l'input) restituendo dei dati finali (output). L'efficacia del modello può essere quindi misurata comparando i dati finali con il risultato effettivo osservato dell'evoluzione del fenomeno o del sistema. Ad esempio, modelli matematici più o meno complessi vengono continuamente proposti e testati inmeteorologia,climatologiaedeconomia.Strutturalmente il modello è una rappresentazione del fenomeno o del sistema in oggetto e si focalizza su una certa prospettiva concettuale dello stesso.

Una classe importante di modelli è data dalle equazioni o sistemi diequazioni differenziali,ordinarie o allederivate parzialiottenibili a partire da 'equazioni di bilancio' per sistemi fisici (meccanici, elettrici, termodinamici, ecc.). Ad esempio, un insieme di equazioni differenziali può descrivere la struttura di un ponte e le forze che su di esso sono esercitate e sulla base di esse il progettista può anticipatamente prevedere gli sforzi o sollecitazioni a cui sarà sottoposta la struttura interna del ponte. Oltre allastaticaedinamica delle struttureiningegneria civile,altri campi importanti di applicazione delle equazioni differenziali sono lateoria dei circuitie isistemi dinamiciin generale.

La soluzione delle equazioni del modello passa attraverso i metodi di risoluzione classici delle equazioni differenziali oppure equivalentemente dai metodi di analisi derivati dallaTeoria dei Sistemi.

Si suole distinguere inoltre tramodelli dinamici,che esprimono la variabilità o evoluzione nel tempo del comportamento di un sistema fisico, emodelli staticiquali ad esempio la semplice Legge di Hooke in un certo istante temporale. Le stesse formule matematiche, ad esempio tutte le equazioni dellacinematica,possono essere considerate in sé e per sé un modello matematico del fenomeno fisico in oggetto (il moto): in particolare queste discendono dalla risoluzione particolare delle equazioni differenziali che risolvono il più generaleproblema della dinamica.

Ad esempio un modello matematico classico è quello dell'oscillatore armonicoovvero quello che si ottiene dalla risoluzione del problema della dinamica applicato allaforza elasticadi una molla libera di muoversi secondo laLegge di Hooke.

Si distinguono modelli (sistemi) deterministici (l'uscita è univocamente determinata dall'ingresso) e modelli (sistemi) stocastici, modelli lineari e modelli non-lineari.

Spesso in macrosistemi a molti gradi di libertà come quello economico e quello climatico il ricorso ai modelli matematici (e a potenti elaboratori), nella forma di sistemi di equazioni multivariabili, è una necessità stringente vista l'impossibilità di studiare il sistema riproducendolo in laboratorio: in questo senso il rigore dell'approccio scientifico 'galileiano' di stampo induttivo-sperimentale è "simulato" da 'laboratori virtuali' ovvero dai supercalcolatori su cui viene fatto girare il modello matematico, eventualmente validato sulla scorta dei dati passati, e dal cui output emergono le proprietà cercate del sistema studiato.

In senso esteso altri tipi di modelli matematici, diversi dalle equazioni differenziali, compaiono in altri settori dellamatematica purae applicata come per esempio in:

• "Topologiae previsione delleproprietà chimiche"in cui si usa lateoria dei grafi.
• "Teoria delle code",in cui si usa lateoria delle probabilità;
• "Scelte collettive razionali", per cui si adopera lateoria dei giochi;
• "Programmazione linearee allocazione delle risorse ";
• "Teoria dei nodiemeccanica statistica".

Dipendenza dai dati iniziali

Un aspetto cruciale, che incide notevolmente sulla capacità di previsione di un modello matematico di un sistema (nella forma di equazione differenziale) è ladipendenza sensibile dai dati iniziali.Se una piccola variazione dell'input produce una forte variazione dell'output, la creazione di un modelloefficientesul fronte della previsione risulta essere enormemente più complessa, e le previsioni a lungo termine possono risultare intrinsecamente impossibili.

Si parla in questo caso di sistema o modellonon-linearee un fenomeno con forte dipendenza dai dati iniziali, riassunto nel concetto dieffetto farfalla,è dettocaoticosebbene possa essere per sua natura intrinsecamente deterministico. In un sistema di questo tipo, l'errore sulla previsione cresceesponenzialmentenel tempo. La disciplina che studia questi fenomeni è ladinamica non-lineareche rientra nellateoria del caos.In realtà anche semplici sistemi lineari possono manifestare questa sensibilità alle condizioni iniziali pur non essendo per loro natura caotici.

Ad esempio, i fenomenimeteorologicisono generalmente caotici: per questo motivo, una previsione a lungo termine (ad esempio, l'esatta temperatura in una data città fra un anno) è del tutto impossibile. Ipianetidelsistema solaresi muovono invece in modo non caotico (almeno in prima approssimazione): per questo motivo è possibile prevedereeclissicon secoli d'anticipo.

Voci correlate

• Teoria dei sistemi
• Modello fisico
• Modelli matematici in fisica
• Sistema dinamico
• Identificazione di sistemi dinamici
• Modello black box
• Analytic Hierarchy Process
• Modellazione geometrica

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• Wikimedia Commonscontiene immagini o altri file sulmodello matematico

Collegamenti esterni

• Modello,inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2013.
• (EN)mathematical model,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN)Opere riguardanti Modello matematico,suOpen Library,Internet Archive.
• Modelli matematici(PDF),sutreccani.it.
• Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici
• Modelli matematici - elementi introduttivi