Algebra

L'algebra(dall'araboالجبر,al-ǧabr,'completamento') è una branca dellamatematicache tratta lo studio distrutture algebriche,relazionie quantità.

Pagina diAlgebradial-Khwarizmi

Storia dell'algebra

Il termine algebra (dall'arabo الجبر,al-ǧabrche significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare" o "ricomporre" ) deriva dal libro del matematicopersianoMuḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī,intitolatoAl-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala( "Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento" ), conosciuto anche nella forma breveAl-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala,che tratta la risoluzione delleequazioni di primoedi secondo grado.

Ci sono anche alcune testimonianze su problemi algebrici semplici dell'Antico Egitto, della Grecia arcaica e della Mesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare.

Algebra retorica

Algebra totalmente priva di simboli, i passaggi sono descritti a parole, secondo la tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.

Algebra sincopata

Algebra descrittiva, ma con notazioni simboliche, come quella usata dal grecoDiofanto di Alessandria.

Algebra simbolica

Algebra in cui i concetti sono rappresentati in simboli, utilizzata oggi in tutto il mondo è nata nell'antica India e poi sviluppata nel XVI secolo dai matematici europei.

Concetti dell'algebra

Numeri

Unnumeroè un oggetto astratto, usato per misurare unaquantità.I numeri più utilizzati sono inumeri naturali:

$0,1,2,3,4,5,6\ldots$

Aggiungendo a questi inumeri negativi,tramite ilsegno meno,si ottengono tutti inumeri interi:

$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$

Aggiungendo a questi lefrazionisi ottengono tutti inumeri razionali:

$-6,-{\frac {3}{2}},{\frac {27}{4}},\ldots \,\!$

Infine, inumeri realicontengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:

${\sqrt {2}},\pi,e,\ldots \,\!$

Aggiungendo a questi un elemento$i$,chiamatounità immaginaria,tale che$i^{2}=-1$,si ottengono inumeri complessi:

$2-i,{\sqrt {2}}+3i,\pi i,\ldots$

Gli insiemi formati dai numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}.$

Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo$\subset$diinclusioneinsiemistica. Ad esempio, il numero$-3$non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.

Operazioni

Con le operazioni aritmetiche diaddizione,sottrazione,moltiplicazioneedivisioneè possibile manipolare i numeri e scrivere espressioni del tipo

$1+{\frac {3}{2}}\,;\quad 3\times {\sqrt {8}}\,;\quad 8-2^{2}\,;\quad 3i(5i).\,\!$

Lo stesso numero può essere scritto in modo diverso, ad esempio:

$1=3-2=5^{0}={\frac {7}{7}}=-i^{2}.$

Costanti e variabili

L'algebra elementareè un'evoluzione dell'aritmetica:oltre ai numeri e alle quattro operazioni, in algebra si fa uso di simboli letterali che (a seconda del contesto) possono essere considerati numericostantiovariabili.Ad esempio:

$1+c\,;\quad x^{2}-1\,;\quad (a+b)^{2}.$

Usando simboli letterali è possibile enunciare deiteoremiche sono validi in contesti molto generali. Ad esempio, ilquadrato del binomio

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

è un'uguaglianza valida per qualsiasi valore di$a$e$b$.

Equazioni

Un'equazioneè un'uguaglianza che può contenere alcune variabili, detteincognite.L'equazione è verificata solo per alcuni valori delle incognite, dettisoluzioni.Determinare le soluzioni di un'equazione è un problema centrale in algebra. Ad esempio, nell'equazione di primo grado

$2x+a=1$

la lettera$a$è una costante, mentre$x$è l'incognita da determinare. Questa equazione ha una sola soluzione; data da

$x={\frac {1-a}{2}}.$

Polinomi

Unpolinomioè un'espressione algebrica ottenuta manipolando alcune costanti e variabili con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (manonla divisione). Ad esempio:

$p(x)=3x^{2}+x-c$

è un polinomio con variabile$x$.Un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio

$q(x,y,z)=xyz-3$

ha tre variabili$x,y,z$.

Unaradice di un polinomiocon una sola variabile$x$è un valore numerico$x_{0}$per cui vale

$p(x_{0})=0.$

Determinare le radici di un polinomio equivale quindi a risolvere un'equazione, in cui il polinomio viene posto uguale a zero. Esistono delle formule generali per determinare le radici di un polinomio digrado1, 2, 3 o 4. Ad esempio, unpolinomio di secondo grado

$ax^{2}+bx+c$

può avere al massimo due radici reali, determinate dalla formula

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Se l'argomento del radicale$b^{2}-4ac$è negativo, il polinomio non ha radici reali. Per ilteorema di Abel-Ruffini,non esistono formule risolutive generali per equazioni di grado maggiore o uguale a 5.

Un polinomio può non avere radici reali. Ilteorema fondamentale dell'algebraasserisce però che ne esiste sempre (almeno) una radicecomplessa.

Numeri algebrici e trascendenti

Un numero reale (o complesso) èalgebricose è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ad esempio, ogni numero razionale$p/q$è algebrico, perché radice del polinomio

$qx-p.$

che ha coefficienti$p$e$q$interi. Laradice$n$-esima reale${\sqrt[{n}]{k}}$di un intero$k>0$è anch'esso un numero algebrico, radice del polinomio

$x^{n}-k.$

Più in generale, tutti i numeri ottenibili a partire dagli interi usando le quattro operazioni ed i radicali sono algebrici. Ad esempio:

${\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}+1}{\sqrt[{3}]{5}}}-7$

è un numero algebrico. Esistono però algebrici non scrivibili in questa forma, per ilteorema di Abel-Ruffini.Fra i numeri complessi, l'unità immaginaria$i$è algebrica perché radice del polinomio$x^{2}+1$.

Un numero reale (o complesso) ètrascendentese non è algebrico. I numeripi greco$\pi$e lacostante di Nepero$e$sono trascendenti.

Strutture algebriche

Unastruttura algebricaè un insieme dotato di una o più operazioni che soddisfano determinatiassiomi.Sulla base di questi assiomi è quindi possibile dimostrare variteoremiche risultano validi in contesti molto generali. Le strutture algebriche hanno un ruolo centrale nell'algebra astrattae in tutta la matematica moderna.

Gruppi

Ungruppoè un insieme$G$dotato di un'operazione binaria,che può essere indicata con il simbolo$*$,che soddisfa gli assiomi seguenti.

1. proprietà associativa:dati$a,b,c$appartenenti a$G$,vale$(a*b)*c=a*(b*c)$.
2. esistenza dell'elemento neutro:esiste in$G$un elementoneutro$e$rispetto all'operazione *, cioè tale che$a*e=e*a=a$per ogni$a$appartenente a$G$.
3. esistenza dell'inverso:ad ogni elemento$a$di$G$è associato un elemento$b$,dettoinversodi$a$,tale che$a*b=b*a=e$.

Ad esempio, inumeri interiformano un gruppo con l'operazione$+$diaddizione.L'insieme$G$e l'operazione$*$sono entrambi importanti nella struttura di gruppo: per identificare il gruppo degli interi con l'addizione si scrive la coppia

$(\mathbb {Z},+).$

Anelli e campi

Unanelloè un insieme$A$dotato di due operazioni binarie, generalmente indicate con gli usuali simboli$+$e$\times$dell'addizione e della moltiplicazione, che soddisfa alcuni assiomi. L'operazione$+$deve soddisfare gli assiomi di gruppo già elencati; inoltre devono valere

1. proprietà commutativa:dati$a,b$appartenenti ad$A$,vale$a+b=b+a$.
2. proprietà associativaper l'operazione$\times$:dati$a,b,c$appartenenti ad$A$,vale$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$.
3. proprietà distributiva:dati$a,b,c$appartenenti ad$A$,vale$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$e$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$.

Ad esempio, inumeri interiformano un anello con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, e si scrive:

$(\mathbb {Z},+,\times ).$

L'elemento neutro per l'operazione$+$viene solitamente indicato con il simbolo$0$.

Uncampoè un anello che soddisfa alcuni assiomi aggiuntivi per l'operazione$\times$,e cioè:

1. proprietà commutativa:dati$a,b$appartenenti ad$A$,vale$a\times b=b\times a$.
2. esistenza dell'elemento neutro:esiste in$A$un elementoneutro$1$rispetto all'operazione$\times$,cioè tale che$a\times 1=1\times a=a$per ogni$a$appartenente a$A$.
3. esistenza dell'inverso:ad ogni elemento$a\neq 0$di$A$è associato un elemento$b$,dettoinversodi$a$,tale che$a\times b=b\times a=1$.

I numeri interinonformano un campo perché 2 non ha un inverso rispetto al prodotto. Inumeri razionaliformano un campo e si scrive:

$(\mathbb {Q},+,\times ).$

Altri campi importanti sono inumeri reali$\mathbb {R}$ed inumeri complessi$\mathbb {C}$.

Spazi vettoriali

Unospazio vettorialeè una struttura algebrica lievemente più complessa. Formalmente, consiste di una quaterna

$(V,K,+,\times )$

in cui$V$è un insieme di oggetti dettivettori,$K$un campo, e$+,\times$due operazioni binarie che soddisfano una lunga lista di assiomi. Come i vettori delpiano cartesiano,i vettori di$V$possono essere sommati e riscalati, cioè moltiplicati per un elemento del campo$K$dettoscalare.La nozione di spazio vettoriale è centrale in tutta la matematica moderna.

Settori dell'algebra

Algebra elementare

L'algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'aritmetica,tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamativariabiliecostanti,denotati solitamente con lettere dell'alfabeto.

Alle espressioni costruite con l'uso delle variabili e delle costanti, si applicano le operazioni aritmetiche diaddizione,differenza(più generalmente,somma algebrica),moltiplicazioneedivisione.In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come ipolinomie leequazioni,e studiati i metodi per trovarne le eventualiradicidei primi e soluzioni delle seconde.

Algebra astratta

L'algebra astrattaè un'estensione dell'algebra elementare, nata verso la fine delXIX secoloe sviluppatasi enormemente nelXX secolo.L'algebra astratta definisce e studia lestrutture algebriche:insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinatiassiomi.Esempi molto particolari di strutture algebriche sono costituiti dagli usuali insiemi numerici, quali inumeri interi,irazionali,irealie icomplessicon le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto, o anche con una sola di queste operazioni.

Esempi di strutture algebriche sono igruppi,glianelli,icampie glispazi vettoriali. Le operazioni di cui sono dotate queste strutture soddisfano leggi molto simili a quelle valide negli esempi numerici menzionati sopra. Esempi di strutture le cui operazioni soddisfano altre leggi, a volte apparentemente controintuitive, sono ireticoli,l'algebra di Boolee lealgebre di Lie.

Algebra lineare

L'algebra linearestudia lematricie glispazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è una generalizzazione astratta della nozione dell'insieme deivettoridel piano (o dello spazio) in senso fisico. Uno dei suoi principali vantaggi è la possibilità di introdurre spazi di qualunque dimensione (anche infinita). Viene applicata anche per studiare leequazioni lineari,cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell'algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.

Teoria dei gruppi

Ungruppoè una struttura algebrica dotata di una singolaoperazione binariache soddisfa alcune ben determinate proprietà (gli assiomi di gruppo). Esempi di gruppi sono inumeri interi,con l'operazione di somma, oppure l'insieme dellesimmetriedi un particolare oggetto geometrico (con l'operazione dicomposizione di funzioni). È da notare che, mentre nel primo caso vale la proprietà commutativa$a+b=b+a$(il gruppo si diceabeliano), la proprietà analoga non vale, in generale, nel secondo caso, perché non è necessariamente vero che$f\circ g=g\circ f$.

Lateoria dei gruppistudia le strutture di gruppo. Oltre ad avere un profondo interesse intrinseco, la teoria dei gruppi ha importanti applicazioni in quasi tutti i settori dellageometria,e in particolare allatopologia,e allo studio dellesimmetrie.Ha anche una forte correlazione con lacombinatoria:l'insieme dellepermutazionidi un insieme è ad esempio un gruppo rispetto alla composizione di funzioni. Ha anche notevoli applicazioni in teoria dei numeri, e talvolta in analisi.

Teoria degli anelli

Unanelloè una struttura algebrica con due operazioni, la prima delle quali soddisfa agli assiomi di ungruppo commutativo.Considerando anche la seconda operazione, si richiede che vengano soddisfatte molte delle proprietà valide per i numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto. Ma, ad esempio, in un anello generico può capitare che$ab=0$,senza che necessariamente uno degli elementi$a$o$b$sia uguale a$0$(questa proprietà è invece verificata negli interi). Tra gli insiemi che risultano essere degli anelli, troviamo l'insieme deipolinomia coefficienti in un dato anello, quello dellematrici(con opportune operazioni di somma e prodotto), e l'insieme deinumeri razionali.

Lateoria degli anellistudia queste strutture, e ha applicazioni in algebra e in molte altre branche della matematica, in particolare ingeometria algebrica.

Teoria dei campi

Uncampoè un anello che deve soddisfare degli assiomi ulteriori, che, intuitivamente, asseriscono la possibilità di effettuare le divisioni (ovviamente solo per un elemento non nullo). Ad esempio gliinterinon sono un campo, mentre irazionalisì.

Lateoria dei campistudia queste strutture. I campi sono l'oggetto base necessario per la definizione deglispazi vettorialie quindi per tutta l'algebra lineare.Lateoria di Galoisè una teoria che mette in relazione i campi, e le loro possibili estensioni, coi gruppi finiti, e i loro possibili sottogruppi. La teoria di Galois fornisce metodi estremamente potenti per lo studio della risolubilità delle equazioni; in particolare, è fondamentale per dimostrare che non esiste una formula generale (che faccia uso solo di radicali) per la risoluzione delle equazioni di 5º grado o superiore.

Algebra computazionale

L'algebra computazionalestudia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.

Altre branche dell'algebra astratta

Oltre alle strutture già descritte, l'algebra ne studia molte altre, tra cuisemigruppi,reticoli,moduli,algebre su campo,bialgebre,algebre di Hopf,superalgebre.

• L'algebra commutativastudia glianelli commutativie le loro applicazioni ingeometria algebrica.
• L'algebra non commutativa,per contro, si occupa degli anelli non commutativi.
• L'algebra omologicae l'algebra omotopicastudiano i concetti diomologiaeomotopiaastrattamente e in rapporto al loro utilizzo intopologia algebricae ingeometria algebrica.
• Lateoria delle rappresentazionistudia le realizzazioni mediante matrici di varie strutture algebriche, in particolare deigruppi finiti,deigruppi di Liee dellealgebre di Lie.
• L'algebra universalestudia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell'algebra ha molti punti in comune con lateoria delle categorie.
• L'algebra applicatasi occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti lacrittografia.

Altri usi

Il termine "algebra" viene usato per indicare varie specie di strutture algebriche composite:

• Algebra di Boole
• Algebra di Kleene
• Sigma-algebra
• Algebra di incidenza
• Algebra di Lie
• Algebra di Clifford
• Algebra di Jordan
• Algebra di Cayley-Dickson
• Algebra di Poisson
• Algebra di Virasoro
• Algebra di gruppo
• Algebra di divisione
• Algebra alternativa
• Algebra quadratica
• Algebra di Hopf
• Algebra di Banach
• Algebra su campo
• *-algebra
  • C*-algebra
• Algebra differenziale
• Algebra di insiemi

Bibliografia

• (IT)Iacopo Barsotti,Appunti di algebra,Zanichelli, 1968
• (FR)Nicolas Bourbaki,Algèbre,Hermann, 1970
• (IT)Claude Chevalley,Concetti fondamentali di algebra,Feltrinelli, 1964
• (IT)Israel Nathan Herstein,Algebra,Editori Riuniti, 2010,ISBN 978-88-6473-210-7
• (EN)Nathan Jacobson,Basic Algebra I,Dover, 2009
• (EN)Nathan Jacobson,Basic Algebra II,Dover, 2009
• (EN)Serge Lang,Algebra,Springer, 2002,ISBN 978-0-387-95385-4

Voci correlate

• Gruppo fondamentale
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio di Hilbert
• Spazio di Banach
• Geometria affine
• Geometria proiettiva
• Geometria algebrica
• Topologia algebrica
• Diofanto di Alessandria
• Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
• Algebra simmetrica
• Papiro di Rhind

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Collegamenti esterni

• algebra,suTreccani.it – Enciclopedie on line,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Irving Kaplansky,Algebra,inEnciclopedia del Novecento,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,1975-2004.
• àlgebra,susapere.it,De Agostini.
• algebra,inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2013.
• (EN) Leo Corry,algebra,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Vaughan Pratt,Algebra,suStanford Encyclopedia of Philosophy.
• (EN)Opere riguardanti Algebra,suOpen Library,Internet Archive.