Altezza di scala

In ambito scientifico, l’altezza di scala,normalmente denotata con la lettera H, è la distanza entro cui una dataproprietà fisicavaria di un fattore "e",il numero di Eulero, base dellogaritmo naturale,pari a circa 2,71828.

Altezza di scala nei modelli semplici della pressione atmosferica

Nelle atmosfere planetarie, l'altezza di scala è l'incremento di altitudine necessario a far variare la pressione atmosferica di un valoree.Tale valore rimane costante se la temperatura rimane costante.

H può essere calcolato da:

$H={\frac {kT}{mg}}$

o in alternativa da

$H={\frac {RT}{Mg}}$

dove:

• k=costante di Boltzmann=1,38×10⁻²³J·K⁻¹
• R=costante dei gas
• T= temperatura atmosferica media inkelvin=250 Kper la Terra
• m = massa di una molecola di gas (in kg)
• M = massa di una mole di gas
• g=accelerazione di gravitàsulla superficie planetaria (m/s²)

La pressione (forza per unità di area) a una data altitudine è il risultato del peso dell'atmosfera soprastante. Se all'altezzazl'atmosfera ha unadensitàρe una pressionep,lo spostamento infinitesimo verticale verso l'altodzprovocherà una diminuzione di pressionedPeguale al peso dello strato di atmosfera di spessoredz.

Per cui:

${\frac {dP}{dz}}=-g\rho$

dovegè l'accelerazione di gravità. Per piccolidzè possibile consideraregcome costante; il segno meno indica che la pressione diminuisce all'aumentare dell'altezza. Pertanto usando l'equazione di statoper ungas idealedimassa molecolaremediaMalla temperaturaT,la densità può essere espressa come

$\rho ={\frac {MP}{kT}}$

Combinando queste equazioni si ottiene

${\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{\frac {kT}{Mg}}}$

che può essere incorporata nell'equazione perHvista sopra per dare:

${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}}$

che non varia se non varia la pressione. Integrando e assumendo cheP₀sia la pressione all'altezzaz= 0 (pressione a livello del mare), la pressione all'altezzazpuò essere scritta come:

$P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right)$

Questo implica undecadimento esponenzialedella pressione con l'altezza.

Nell'atmosfera terrestre,la pressione a livello del mareP₀è in media di1,01×10⁵Pa,mentre la massa molecolare media dell'aria secca è28,964u;ne consegue pertanto che 28,964 ×1,660×10⁻²⁷=4,808×10⁻²⁶kgeg=9,81 m/s².Essendo funzione della temperatura, l'altezza di scala dell'atmosfera terrestre è perciò 1,38/(4,808 × 9,81) × 10³=29,26 m/deg.

Per alcuni valori rappresentativi della temperatura dell'aria, l'altezza di scala è:

T= 290 K,H= 8500 m

T= 273 K,H= 8000 m

T= 260 K,H= 7610 m

T= 210 K,H= 6000 m

Questi valori andrebbero confrontati con la temperatura e la densità dell'atmosfera terrestre in un graficoNRLMSISE-00,dove si vede che ladensità dell'ariadiminuisce da 1200 g/m³a livello del mare a 0,5³= 0,125 g/m³a 70 km, che corrisponde a un fattore 9600, indicando un fattore di scala di 70/ln(9600) =7,64 km,consistente con una temperatura media dell'aria in quell'intervallo prossima a 260 K.

È da notare che:

• La densità è correlata alla pressione dallalegge dei gas perfetti,pertanto – a parte qualche scostamento legato al fatto che la temperatura varia – anche la densità diminuirà esponenzialmente con l'altezza partendo da un valore a livello del mare diρ₀all'incirca uguale a 1,2 kg m⁻³.
• Per altezze superiori a 100 km, la diffusione molecolare implica che ogni specie atomica molecolare ha la propria altezza di scala.

Esempi planetari

I valori approssimati di scala per alcuni corpi delsistema solaresono:

• Sole:≈130 km
• Venere:15,9 km
• Terra:8,5 km
• Marte:11,1 km
• Giove:27 km
• Saturno:59,5 km
  • Titano:40 km
• Urano:27,7 km
• Nettuno:19,1–20,3 km