Arcotangente

Intrigonometrial'arcotangenteè definita comefunzioneinversa della restrizione della funzionetangenteall'intervallo$\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R}.$

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzioneuno degli archi la cui tangenteè la misura dell'angolo (infatti iradianti,unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di$x$èl'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è$x$.È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilitàdella funzione.

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è$\arctan$o${\rm {arctg}}$;è comune anche la scrittura$\tan ^{-1}$.In diversilinguaggi di programmazionee sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le formeATANeATN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

• L'arcotangente è unafunzionedefinita sull'insieme deinumeri reali:

$\arctan:\mathbb {R} \rightarrow \left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right).$

• La sua immagine è l'intervallo:

$\arctan(\mathbb {R} )=\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\subset \mathbb {R}.$

• Ne esistono finiti ilimitiagli estremi del dominio:

$\lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\pi \over 2},$

$\lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\pi \over 2}.$

• La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:

$\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}:x_{1}<x_{2}\Rightarrow \arctan(x_{1})<\arctan(x_{2}).$

• È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

$\arctan(x)=-\arctan(-x)\qquad {\text{o equivalentemente}}\qquad \arctan(-x)=-\arctan(x),$

ed è di classe$C^{\infty }$cioè ècontinuae ne esiste continua laderivatadi ogni ordine:

$\forall \,x_{0}\in \mathbb {R},\forall n\in \mathbb {N} \quad \exists \;\lim _{x\to x_{0}}\arctan ^{(n)}(x)=\arctan ^{(n)}(x_{0})$

$\arctan '(x)={1 \over 1+x^{2}},$

$\arctan ''(x)={-2x \over \left(1+x^{2}\right)^{2}},$

$\arctan ^{(3)}(x)={6x^{2}-2 \over \left(1+x^{2}\right)^{3}},$

$\arctan ^{(4)}(x)={-24x^{3}+24x \over \left(1+x^{2}\right)^{4}},$

$\cdots$

La relativaserie di MacLaurin(ovveroserie di Taylorcentrata nello zero) è:

$\arctan(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{x^{2k+1} \over 2k+1}=x-{x^{3} \over 3}+{x^{5} \over 5}-{x^{7} \over 7}+\cdots$

è unaserie di Leibniz(quindi convergente)soltanto se$\vert x\vert \leq 1.$

È possibile combinare lasommaodifferenzadi due arcotangenti in un'espressionedove l'arcotangente non figura più di una volta:

$\arctan \left(x_{1}\right)\pm \arctan \left(x_{2}\right)={\begin{cases}Y&\pm x_{1}x_{2}<1\\{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,{\displaystyle \,\pi \; \over 2}\qquad &\pm x_{1}x_{2}=1\\Y+{\rm {segno}}\left(x_{1}\right)\,\pi &\pm x_{1}x_{2}>1\\\end{cases}}$

nelle quali

$Y=\arctan \left({x_{1}\pm x_{2} \over 1\mp x_{1}x_{2}}\right).$

Si ha inoltre che, per$x>0$:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.$

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza$x$e$1$.L'angolo opposto al cateto di lunghezza$x$avrà ampiezza pari a$\arctan(x)$,mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza$1$avrà ampiezza pari a$\arctan \left({1 \over x}\right)$.Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)+{\pi \over 2}=\pi,$

e quindi si giunge a:

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)={\pi \over 2}.$

Applicazioni

• In untriangolo rettangolol'ampiezza inradiantidi unangolo acutoequivale all'arcotangente delrapportofra il suocatetoopposto e il cateto adiacente.
• Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre dipi greco.Queste formule sono conosciute comeformule di tipo Machin.

Bibliografia

• Carla Maderna e Paolo M. Soardi,Lezioni di Analisi Matematica,CittàStudi Edizioni - Milano, 1995,ISBN88-251-7090-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni,Lineamenti.Math Blu Volume 4,Ghisetti e Corvi, 2012,ISBN978-88-538-0432-7.

Voci correlate

• Tangente (matematica)
• Arcotangente2

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• Wikimedia Commonscontiene immagini o altri file sull'arcotangente

Collegamenti esterni

• arcotangente,suTreccani.it – Enciclopedie on line,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arctàn,inDizionario delle scienze fisiche,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,1996.
• arcotangènte,suVocabolario Treccani,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcotangènte,susapere.it,De Agostini.
• arcotangente,inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2013.
• (EN) Eric W. Weisstein,inverse tangent,suMathWorld,Wolfram Research.