Arcotangente
Intrigonometrial'arcotangenteè definita comefunzioneinversa della restrizione della funzionetangenteall'intervallo[1]
Il nome può esser fatto derivare dalla locuzioneuno degli archi la cui tangenteè la misura dell'angolo (infatti iradianti,unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente dièl'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è.È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilitàdella funzione.
Notazione
[modifica|modifica wikitesto]La notazione matematica dell'arcotangente èo;è comune anche la scrittura.In diversilinguaggi di programmazionee sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le formeATAN
eATN
.
Proprietà
[modifica|modifica wikitesto]- L'arcotangente è unafunzionedefinita sull'insieme deinumeri reali:[2]
- La sua immagine è l'intervallo:
- Ne esistono finiti ilimitiagli estremi del dominio:
- La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:
- È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):
ed è di classecioè ècontinuae ne esiste continua laderivatadi ogni ordine:[3]
La relativaserie di MacLaurin(ovveroserie di Taylorcentrata nello zero) è:[4]
è unaserie di Leibniz(quindi convergente)soltanto se
È possibile combinare lasommaodifferenzadi due arcotangenti in un'espressionedove l'arcotangente non figura più di una volta:
nelle quali
Si ha inoltre che, per:
Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezzae.L'angolo opposto al cateto di lunghezzaavrà ampiezza pari a,mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezzaavrà ampiezza pari a.Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:
e quindi si giunge a:
Applicazioni
[modifica|modifica wikitesto]- In untriangolo rettangolol'ampiezza inradiantidi unangolo acutoequivale all'arcotangente delrapportofra il suocatetoopposto e il cateto adiacente[5].
- Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre dipi greco.Queste formule sono conosciute comeformule di tipo Machin.
Note
[modifica|modifica wikitesto]- ^Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni,Lineamenti.Math Blu Volume 4,Ghisetti e Corvi, 2012,ISBN978-88-538-0432-7.p.187
- ^Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni,Lineamenti.Math Blu Volume 4,Ghisetti e Corvi, 2012,ISBN978-88-538-0432-7.pp.188-189
- ^Maderna C. e Soardi P.M.,Lezioni di Analisi Matematica,CittàStudi Edizioni - Milano, 1995,ISBN88-251-7090-4.p. 219
- ^Maderna C. e Soardi P.M.,Lezioni di Analisi Matematica,CittàStudi Edizioni - Milano, 1995,ISBN88-251-7090-4.p. 239
- ^Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria,Lineamenti.Math Blu Volume 4,Ghisetti e Corvi, 2012,ISBN978-88-538-0432-7.pp. 376-377
Bibliografia
[modifica|modifica wikitesto]- Carla Maderna e Paolo M. Soardi,Lezioni di Analisi Matematica,CittàStudi Edizioni - Milano, 1995,ISBN88-251-7090-4.
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni,Lineamenti.Math Blu Volume 4,Ghisetti e Corvi, 2012,ISBN978-88-538-0432-7.
Voci correlate
[modifica|modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica|modifica wikitesto]- Wikimedia Commonscontiene immagini o altri file sull'arcotangente
Collegamenti esterni
[modifica|modifica wikitesto]- arcotangente,suTreccani.it – Enciclopedie on line,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- arctàn,inDizionario delle scienze fisiche,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,1996.
- arcotangènte,suVocabolario Treccani,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- arcotangènte,susapere.it,De Agostini.
- arcotangente,inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2013.
- (EN) Eric W. Weisstein,inverse tangent,suMathWorld,Wolfram Research.