Caratteristica (algebra)

Inmatematica,lacaratteristicadi unanelloè definita come il più piccolonumero naturale$n$diverso da zero tale che l'elemento

${\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1} \\n\mathrm {~volte} \end{matrix}}$

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se$1+1+\ldots +1$è sempre diverso da zero, la caratteristica è$0$per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineareo dellageometria algebricarichiedono che l'anello o ilcampousato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica$2$.

Proprietà

Caratteristica di un elemento

Più generalmente, la caratteristica di un elemento$a$è il più piccolo$k$tale che

${\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}$

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come ilminimo comune multiplodelle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è undominio di integrità,ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primo

Nei domini di integrità, la caratteristica è$0$oppure unnumero primo:l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo$0=1$) che è l'unico dominio con caratteristica$1$.

Anello finito

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismi

Se$A$è unsottoanellodi$B$,ha la stessa caratteristica di$B$.

Più in generale, se$A$e$B$sono anelli e$A\to B$è unomomorfismo di anelli,allora la caratteristica di$B$divide quella di$A$.

Endomorfismo di Frobenius

Se la caratteristica di un anello$A$è un numero primo$p$,allora

$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},$

per tutti gli elementi$x,y$in$A$.La mappa

$f:x\mapsto x^{p},$

è quindi unendomorfismodi anelli, chiamatoendomorfismo di Frobenius.Questo èiniettivose$A$è un dominio d'integrità.

Esempi

Campi razionali, reali, complessi

I campi$\mathbb {Q}$,$\mathbb {R}$e$\mathbb {C}$deinumeri razionali,realienumeri complessihanno caratteristica zero.

Anelli finiti

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$delleclassi di restomodulo$n$,ha caratteristica$n$.

Numeri p-adici

Inumeri p-adiciformano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica$p^{k}$con$k$tendente a infinito.

Caratteristica di un campo

Come detto sopra, la caratteristica di un campo$K$è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità$1$è un sottocampo di$K$che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo$\mathbb {Q}$dei numeri razionali. Se è$p$,è isomorfo ad uncampo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica$p$,ad esempio lachiusura algebricadi$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein,Caratteristica,suMathWorld,Wolfram Research.
• (EN)Caratteristica,suEncyclopaedia of Mathematics,Springer e European Mathematical Society.