Convoluzione

Inmatematica,in particolare nell'analisi funzionale,laconvoluzioneè un'operazione tra duefunzionidi una variabile che consiste nell'integrareil prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con lacorrelazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi dellafisica,dellastatistica,dell'elettronica,dell'analisi d'immagini e dellagrafica computerizzata.Quando si studianosistemi dinamici lineari stazionari,l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e larisposta all'impulsodel sistema, la cuitrasformata di Laplace(o latrasformata di Fourier) è lafunzione di trasferimentodel sistema.

Definizione

Si considerino due funzioni $f(t)$ e $g(t)$ definite da $\mathbb {R}$ in sé, con $f$ e $g$ integrabili secondo Lebesguesu $\mathbb {R}$ .Si definisce convoluzione di $f$ e $g$ la funzione definita nel seguente modo:^[1]

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\ \mathrm {d} \tau

dove $\int _{-\infty }^{\infty }$ denota l'integrale definitosull'insieme deinumeri reali.Le limitazioni poste alle funzioni $f$ e $g$ assicurano che l'integrale sia unnumero reale.È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma ditrasformata integrale.L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando $(t-\tau )=\tau '$ :operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare $\tau '$ con il nome di $\tau$ .

Spesso alla variabile $t$ si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione $f(\tau )$ all'istante $t$ ,dove la funzione peso è $g(-\tau )$ traslata di un intervallo $t$ ,ed al cambiare di $t$ la funzione peso enfatizza parti diverse di $f$ .

Più in generale si possono considerare $f(t)$ e $g(t)$ definite su $\mathbb {R} ^{d}$ a valori in $\mathbb {C}$ ,la cui convoluzione è data da:

(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\ \mathrm {d} y

Se $X$ e $Y$ sono duevariabili casuali indipendenticondensità di probabilità $f$ e $g$ rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma $X+Y$ è data dalla convoluzione di $f$ con $g$ .^[2]

Convoluzione circolare

Data unafunzione periodica $x_{T}$ con periodo $T$ ,la sua convoluzione con un'altra funzione $h$ è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

(x_{T}*h)(t)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau

dove $t_{o}$ è un parametro arbitrario e $h_{T}$ è lasommazione periodicadi $h$ ,data da:^[3]

h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT)

Si tratta di unaconvoluzione periodicadi $x_{T}$ e $h_{T}$ ,e se $x_{T}$ è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione $x$ tale operazione è dettaconvoluzione circolareoconvoluzione ciclicadi $h$ e $x$ .

Convoluzione discreta

Si considerino due funzioni $f[n]$ e $g[n]$ definite sull'insieme $\mathbb {Z}$ degli interi. La convoluzione discreta di $f$ con $g$ è data da:

(f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]

Quando si moltiplicano duepolinomicon coefficienti dati dallesuccessioni $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dalprodotto di Cauchy $\textstyle (c_{n})_{n\geq 0}$ ,il cuin-esimo elemento è dato da:

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ considerati come elementi dell'anellosul gruppo deinumeri naturali $R[\mathbb {N} ]$ .

Convoluzione discreta circolare

Data una funzione $g_{N}$ periodica con periodo $N$ ,per funzioni $f$ tali che $f*g_{N}$ esiste, la convoluzione discreta è periodica:

(f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m]

e la somma sukè unasommazione periodicadi $f$ .Se $g_{N}$ è la sommazione periodica di un'altra funzione $g$ ,la convoluzione $f*g_{N}$ è la convoluzione circolare di $f$ con $g$ .Se inoltre $f$ e $g$ presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo $[0,N-1]$ allora $f*g_{N}$ assume la forma:

{\begin{aligned}(f*g_{N})[n]&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{n}f[m]\ g[n-m]+\sum _{m\,=\,n+1}^{N-1}f[m]\ g[N+n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g[(n-m)_{\bmod {N}}]\equiv (f*_{N}g)[n]\end{aligned}}

Dominio di definizione

La convoluzione di due funzioni $f$ e $g$ definite su $\mathbb {R} ^{d}$ a valori in $\mathbb {C}$ :

(f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y

è ben definita solo se $f$ e $g$ decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se $f$ e $g$ sonofunzioni a supporto compatto,ovvero sono funzioni (in questo casocontinue) che hanno persupportounsottoinsieme compattodell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se $f$ e $g$ sonoLebesgue-integrabili(in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ) allora per ilteorema di Tonellila loro convoluzione è integrabile. Se $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ e $g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ ,con $1\leq p\leq \infty$ ,allora $(f*g)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ e si ha:

\|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}

In particolare, se $p=1$ tale relazione mostra che $L^{1}$ con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach.Più in generale, ladisuguaglianza di Youngimplica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi $L^{p}$ .Nello specifico, se $1\leq p,q,r\leq \infty$ soddisfano la relazione:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1

allora:

\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\qquad f\in L^{p}\quad g\in L^{q}

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da $L^{p}\times L^{q}$ a $L^{r}$ .

Distribuzioni

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con unadistribuzionee la convoluzione tra due distribuzioni. Se $f$ è una funzione a supporto compatto e $g$ è una distribuzione, la loro convoluzione è unafunzione lisciadefinita dall'analoga formulazione distribuzionale:

\int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi \,

rimanga valida anche qualora $f$ sia una distribuzione e $g$ una distribuzione a supporto compatto.

Misure

La convoluzione di duemisurediBorel $\mu$ e $\nu$ avariazione limitataè la misura $\lambda$ definita come:

\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \nu (y)

Tale definizione coincide con la precedente se $\mu$ e $\nu$ sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in $L^{1}$ quando $\mu$ e $\nu$ sonoassolutamente continuerispetto allamisura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

\|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|

dove la norma è lavariazione totaledella misura.

Proprietà

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

Commutatività

f*g=g*f

Associatività

f*(g*h)=(f*g)*h

Distributività

f*(g+h)=(f*g)+(f*h)

Associatività per moltiplicazione per scalare

a(f*g)=(af)*g=f*(ag)

per ogni numero reale (o complesso)

a

.

Regola di differenziazione

{\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g

dove con

{\mathcal {D}}f

si è denotata laderivatadi

f

o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:

{\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)

Teorema di convoluzione

Ilteorema di convoluzioneafferma che:

{\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}

dove ${\mathcal {F}}(f)$ indica latrasformata di Fourierdi $f$ e $k$ è una costante che dipende dalla scelta della costante di normalizzazione della trasformata. Altre versioni di questo teorema funzionano per latrasformata di Laplacee latrasformata di Mellin.La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppi

Se $G$ è ungrupposcelto in modo appropriato e la cuimisuracorrisponde al valorem(per esempio, un gruppo diHausdorff localmente compattocon lamisura di Haar) e se $f$ e $g$ sono valori reali o complessi dell'm-integraledi $G$ ,allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,\mathrm {d} m(y)

Applicazioni

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

Instatistica,unamedia mobilepesata è una convoluzione. Anche ladistribuzione di probabilitàdella somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
Inottica,molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto èbokeh.
Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini,i filtri convoluzionali assumono un importante compito neglialgoritmidi calcolo dei margini e dei processi correlati.
Nell'elaborazione digitale dei segnali,il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) neldominio del tempo,il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
Inacusticalineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
Inelaborazione digitale dei segnali,nellariverberazioneartificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnaleaudio digitale.
In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di unsistema dinamico lineare(stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con larisposta impulsivadel sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzioneDelta di Dirac). Nel dominio discreto il concetto di convoluzione viene esteso a unasommatoria,estesa al prodotto di segnale erisposta impulsiva $y(n)=x(n)*h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)$ ^[4],con la sequenza h(n) che prende il nome di "kernel di convoluzione" o "maschera di convoluzione".
Nellaspettroscopia a fluorescenzadeterminata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e lafluorescenzamisurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

Note

^W. Rudin,Pag. 170.
^J. Jacod; P. Protter,Pag. 117.
^Infatti:
$\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$
${\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \to \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{X_{T}(t-\tau )}\right]\ \mathrm {d} \tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau \end{aligned}}$
^Smith, Julius O. (Julius Orion) e Stanford University. Department of Music.,Spectral audio signal processing,W3K, 2011,ISBN 978-0-9745607-3-1,OCLC 776892709.URL consultato l'8 dicembre 2020.

Bibliografia

(EN)Walter Rudin,Real and Complex Analysis,Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970,ISBN 0-07-054234-1.
(EN) Jean Jacod, Philip Protter,Probability Essentials,Springer, 2000,ISBN 3-540-43871-8.
(EN)Walter Rudin,Physics with the hands,Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 2013.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein,Convoluzione,suMathWorld,Wolfram Research.
Convolution,suThe Data Analysis BriefBook
http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.htmlApplet Java sulla convoluzione.
http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.htmlApplet Java per la convoluzione di funzioni tempo discrete.
http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/corsoCEA/convoluzione.xlsUn foglio elettronico per visualizzare in modo interattivo il prodotto di convoluzione fra due segnali, nell'esempio un impulso ed un'esponenziale monolatera. Tramite un cursore il tempo può essere fatto variare da -∞ a +∞; in corrispondenza di ogni valore viene evidenziata la funzione integrando ed il risultato del prodotto di convoluzione (tramite un marker)
http://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.htmlPermette di visualizzare in maniera interattiva il risultato della convoluzione di varie coppie di funzioni. L'utente può scegliere tramite un menu a tendina le due funzioni da convolvere e visualizzare istante per istante il risultato.

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[1] W. Rudin,Pag. 170.

[2] J. Jacod; P. Protter,Pag. 117.

[3] Infatti:
$\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$
${\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \to \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{X_{T}(t-\tau )}\right]\ \mathrm {d} \tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau \end{aligned}}$

[4] Smith, Julius O. (Julius Orion) e Stanford University. Department of Music.,Spectral audio signal processing,W3K, 2011,ISBN 978-0-9745607-3-1,OCLC 776892709.URL consultato l'8 dicembre 2020.

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Convoluzione

Indice