Distanza euclidea

Inmatematica,ladistanza euclideaè unadistanzatra duepunti,in particolare è una misura della lunghezza del segmento avente per estremi i due punti.

Usando questa distanza, lo spazio euclideo diventa unospazio metrico(più in particolare risulta unospazio di Hilbert). La letteratura tradizionale si riferisce a questa metrica comemetrica pitagorica.

Distanza unidimensionale

Per due punti in uno spazio unidimensionale,$P=(p_{x})$e$Q=(q_{x})$,la distanza euclidea è calcolata come:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|.$

Distanza bidimensionale

Per due punti in uno spazio bidimensionale,$P=(p_{x},p_{y})$e$Q=(q_{x},q_{y})$,la distanza euclidea è calcolata come:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}.$

Approssimazione 2D per applicazioni informatiche

Un'approssimazione rapida della distanza in2Dbasata su un intorno ottagonale può essere calcolata come segue. Sia$dx=|p_{x}-q_{x}|$(valore assoluto) e$dy=|p_{y}-q_{y}|$.Se$dy>dx$,la distanza approssimata è$0,41dx+0,941246dy$;se$dy<dx$,si invertono i due valori.

La differenza dalla distanza esatta è tra il −6% e il +3%; più dell'85% di tutte le possibili differenze sono tra il −3% e il +3%.

Il seguente codiceMapleimplementa questa approssimazione e produce un grafico con lacirconferenzareale in nero e l'intorno ottagonale approssimato in rosso:

fasthypot:=
unapply(piecewise(abs(dx)>abs(dy),
abs(dx)*0.941246+abs(dy)*0.41,
abs(dy)*0.941246+abs(dx)*0.41),
dx, dy):
hypot:= unapply(sqrt(x^2+y^2), x, y):
plots[display](
plots[implicitplot](fasthypot(x,y) > 1,
x=-1.1..1.1,
y=-1.1..1.1,
numpoints=4000),
plottools[circle]([0,0], 1),
scaling=constrained,thickness=2
);

Esistono altri tipi di approssimazione. Tutte cercano generalmente di evitare le radici quadrate, dato che sono costose in termini computazionali, e sono fonte di diversi errori:rapporto di velocità.Usando la notazione di cui sopra, l'approssimazionedx+dy− (1/2)×min(dx,dy) genera un errore tra lo 0% e il 12% (attribuito adAlan Paeth). Un'approssimazione migliore in termini dierrore RMSèdx+dy− (5/8)×min(dx,dy), per la quale è stimato un errore tra il −3% e il 7%.

È bene notare che se è necessario confrontare distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare laradice quadratadi tutte se si tiene conto delle seguenti proprietà:

• Se$A^{2}$è maggiore di$B^{2}$,allora anche la distanza$A$sarà maggiore della distanza$B$.
• Controllare se la distanza$A$è maggiore della distanza$2B$è come confrontare$A^{2}$con$(2B)^{2}$,$(4B)^{2}$e così via.

Un esempio del primo caso potrebbe essere quello di provare a determinare in quale punto della griglia di un sistemaCAD/CAM2D potrebbe ricadere (snap to) un punto arbitrario. Questa non è realmente un'approssimazione, comunque, dato che il risultato è esatto.

Distanza tri-dimensionale

Per due punti in tre dimensioni,$P=(p_{x},p_{y},p_{z})$e$Q=(q_{x},q_{y},q_{z})$,la distanza è calcolata come:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$

Approssimazioni 3D per applicazioni informatiche

Come indicato nella sezione sull'approssimazione 2D, quando si confrontano distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare la radice quadrata di tutte. Infatti vale la regola che se$A^{2}$è maggiore di$B^{2}$,allora anche la distanza$A$sarà maggiore della distanza$B$.

Ad esempio, se si cerca la minima distanza tra due superfici in uno spazio tridimensionale, usando un sistemaCAD/CAM3D,si potrebbe pensare di costruire una griglia di punti in ogni superficie e confrontare la distanza di ogni singolo punto nella prima superficie da ogni punto della seconda. Non è necessario conoscere la distanza effettiva, ma solo quale distanza è la minore. Una volta individuati i due punti più vicini, si può creare una griglia più piccola attorno a questi punti in ogni superficie e ripetere il procedimento. Dopo diverse iterazioni si riesce a valutare quali sono i punti più vicini in assoluto, e di questi calcolare la radice quadrata per ottenere un'ottima approssimazione della distanza minima tra le due superfici.

Distanza n-dimensionale

In generale, per due punti in uno spazio$n$-dimensionale,$P=(p_{1},p_{2},\ldots,p_{n})$e$Q=(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})$,la distanza euclidea è calcolata come:

${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(p_{k}-q_{k})^{2}}}}.$

Voci correlate

• Spazio euclideo
• Distanza
• Pitagora
• Euclide

Collegamenti esterni

• Distanza,inEnciclopedia della Matematica,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2013.
• (EN) Eric W. Weisstein,Distance,suMathWorld,Wolfram Research.