Funzione di trasferimento

Neimodelli matematicideisistemi dinamici,lafunzione di trasferimentoè una funzione che caratterizza il comportamento di un sistema dinamicotempo-invarianteneldominio della frequenza,mettendo in relazione l'ingresso e l'uscita. Può essere definita per descrivere siasistemi lineariche sistemi non-lineari.

La funzione di trasferimento di unsistema dinamico lineare stazionario(LTI) è latrasformata di Laplacedellarisposta all'impulsodel sistema; si tratta dellafunzione di reteche esprime la relazione algebrica traingressoe uscita nel dominio delle frequenze, caratterizzando il comportamento del sistema in un modo equivalente a quello fornito dallarappresentazione in spazio di stato.Con la funzione di trasferimento è possibile studiare lastabilità(esterna) del sistema LTI considerato, ovvero la sua capacità di mantenere un'uscita limitata per ogni ingresso limitato.

Sistemi lineari

La funzione di trasferimento di unsistema dinamico lineare stazionario(LTI) è unafunzionedi variabilecomplessache descrive completamente il comportamento (in frequenza) del sistema, mettendone in relazione l'ingresso e l'uscita. Si consideri una funzione$u(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$che rappresenta l'ingresso al variare del tempo ($t$) ed una funzione$y(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}$che rappresenta l'uscita del sistema nel tempo. Dette$U(s)$e$Y(s)$letrasformate di Laplacedi$u(t)$e$y(t)$,la funzione di trasferimento è la funzione

$H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}\qquad s=\sigma +i\omega \in \mathbb {C}$

Un generico sistema dinamico lineare stazionario è descritto da

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}}$

dove$x(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{p}$è ilvettoredello stato del sistema, mentre$A$,$B$,$C$e$D$sonomatrici.

Nel dominio della trasformata di Laplace, in cui la variabile è la frequenza$s$,l'uscita è data dal contributo dellarisposta libera- in cui$X_{0}$è lo stato iniziale - e della risposta forzata

$Y(s)=C(sI-A)^{-1}X_{0}+(D+C(sI-A)^{-1}B)U(s)$

La funzione di trasferimento è quindi rappresentata dalla matrice$(D+C(sI-A)^{-1}B)$,e nel caso vi siano un solo ingresso ed una sola uscita (sistemi SISO), ovvero$u(t)$e$y(t)$sono definite da$\mathbb {R}$in sé,$H(s)$assume la particolare forma

$H(s)={\frac {\prod _{i=0}^{Z}(s-z_{i})}{\prod _{i=0}^{P}(s-p_{i})}}$

Si tratta di unafunzione razionaledi variabile complessa, in cui gli$Z+1$numeri$z_{i}$(che annullano ilnumeratore) sono i suoizeri,mentre i$P+1$numeri$p_{i}$(che annullano ildenominatore) sono i suoipoli.Ad ogni polo di$H(s)$risulta associato neldominio del tempounmodo di risposta,ed i modi di risposta vengono dettiasintoticamente stabilise i poli corrispondenti hanno parte reale negativa,marginalmente stabili(al limite di stabilità) se tra i poli corrispondenti ce ne sono alcuni semplici (di molteplicità algebrica pari ad uno) con parte reale nulla, einstabilise i poli hanno parte reale nulla e molteplicità algebrica maggiore di uno e/o parte reale positiva.

Una caratteristica fondamentale di ogni sistema LTI è il fatto che fornendo in ingresso$u(t)$una funzione (più propriamente unadistribuzione) adelta di Diracsi ha che l'uscita$y(t)$del sistema, detta in tal casorisposta all'impulso,ha come trasformata di Laplace proprio la funzione di trasferimento del sistema stesso$H(s)$(ciò deriva dal fatto che la trasformata di Laplace della delta di Dirac è 1).

Poiché nel dominio della trasformata di Laplace un prodotto di due funzioni corrisponde alla loroconvoluzionenel dominio temporale, segue che la risposta del sistema ad un ingresso generico$y(t)$è la convoluzione dell'ingresso$u(t)$con la risposta del sistema alla delta di Dirac$h(t)$.

Analisi in frequenza

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (in rosso). Latrasformata di Laplaceconsente di scrivere la convoluzione tra l'ingresso e larisposta impulsivacome un prodotto, nel dominio delle frequenze, delle rispettive trasformate.

Sia$x(t)$l'input di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) con uscita$y(t)$,e si considerino letrasformate di Laplace

$X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }x(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\qquad$e$\qquad Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }y(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t$

sicché la funzione di trasferimento$H(s)$soddisfa per definizione:

$Y(s)=H(s)X(s)\qquad H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$

In particolare, nel caso in ingresso al sistema LTI vi sia un segnale con componente sinusoidale di ampiezza$|X|$,frequenza angolare$\omega$e fase$\arg(X)$:

$x(t)=Xe^{i\omega t}=|X|e^{i(\omega t+\arg(X))}\qquad X=|X|e^{i\arg(X)}$

allora l'uscita corrispondente è:

$y(t)=Ye^{i\omega t}=|Y|e^{i(\omega t+\arg(Y))}\qquad Y=|Y|e^{i\arg(Y)}$

In un sistema LTI, infatti, la frequenza$\omega$del segnale in ingresso non viene modificata, essendo possibile soltanto l'alterazione di ampiezza e fase. La risposta in frequenza$H(i\omega )$descrive una tale modifica per ogni frequenza$\omega$possibile, ed il suo modulo definisce ilguadagno:

$G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(i\omega )|\$

Il cambiamento di fase tra ingresso e uscita è dato da:

$\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(i\omega ))$

mentre i ritardi$\tau _{\phi }$e$\tau _{g}$introdotti dalla funzione di trasferimento rispettivamente sulla fase e sull'inviluppo della sinusoide, espressi in funzione della frequenza, sono:

$\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\qquad \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}$

Risposta impulsiva

L'uscita$y(t)$di unsistema dinamico linearetempo-invariante a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso$x(t)$è descritta dallaconvoluzione:

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau$

dove$h(t)$è la risposta del sistema quando l'ingresso$x(t)$è una funzione adelta di Dirac.L'uscita$y$è quindi proporzionale alla media dell'ingresso$x$pesata dalla funzione$h(-\tau )$,traslata di un tempo$t$.

Se la funzione$h(\tau )$è nulla quando$\tau <0$allora$y(t)$dipende soltanto dai valori assunti da$x$precedentemente al tempo$t$,ed il sistema è dettocausale.

Leautofunzionidi un sistema LTI a tempo continuo sono lefunzioni esponenziali$Ae^{st}$,con$A$e$s$in$\mathbb {C}$.Infatti, sia$x(t)=Ae^{st}$l'ingresso e$h(t)$la risposta del sistema alla delta di Dirac. L'uscita è data da:

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}H(s)$

La trasformata di Laplace:

$H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t$

è la funzione di trasferimento del sistema, che permette così di ottenere gli autovalori a partire dalla risposta all'impulso di Dirac. Per ogni$A$e$s$in$\mathbb {C}$l'uscita è dunque il prodotto dell'ingresso$Ae^{st}$per una costante dipendente solo dal parametro$s$,autovalore del sistema LTI relativo all'autovettore$Ae^{st}$(elemento di unospazio vettorialefunzionale). Di particolare interesse è il caso in cui l'ingresso è un esponenziale complesso$\exp({i\omega t})$,con$\omega \in \mathbb {R}$.La funzione di trasferimento è data in tal caso dallatrasformata di Fourier:

$H(i\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$

Mentre la trasformata di Laplace è utilizzata per segnali che sono nulli prima di un certo tempo$t_{0}$,solitamente lo zero, la trasformata di Fourier consente di trattare funzioni di durata infinita, con la richiesta (a differenza della trasformata di Laplace in sistemi stabili) di esserequadrato sommabili.

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata l'integrale si riduce ad una moltiplicazione:

$y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Tale fatto consente di trasformare leequazioni differenzialiedintegraliche solitamente governano i sistemi dinamici LTI in equazioni algebriche.

Equazioni differenziali

Un altro modo per descrivere la risposta$y$del sistema è considerare l'equazione differenziale linearea coefficienti costanti:

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(y)+a_{1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}(y)+\dotsb +a_{n-1}{\frac {d}{dt}}(y)+a_{n}y={\frac {d^{m}}{dt^{m}}}(u)+b_{1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}(u)+\dotsb +b_{m-1}{\frac {d}{dt}}(u)+b_{m}u$

Nel dominio dellatrasformata di Laplacela differenziazione corrisponde alla moltiplicazione per la variabile complessa (frequenza)$s$,e quindi si ha:

$s^{n}y+a_{1}s^{n-1}y+\dotsb +a_{n-1}s\,y+a_{n}y=s^{m}u+b_{1}s^{m-1}u+\dotsb +b_{m-1}s\,u+b_{m}u$

Per ottenere la funzione di trasferimento, se l'ingresso è$u=e^{st}$l'uscita di un sistema lineare ha la forma$y=y_{0}e^{st}$.Sostituendo si ha:

$(s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots +a_{n})y_{0}e^{st}=(s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots +b_{m})e^{st}$

da cui si ottiene:

$y=y_{0}e^{st}={\frac {b(s)}{a(s)}}e^{st}=H(s)u(t)$

dove:

${\begin{aligned}a(s)&=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}\\b(s)&=s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_{m}\end{aligned}}$

sono i polinomi caratteristici dell'equazione. Si ha quindi:

$H(s)={\frac {b(s)}{a(s)}}$

Per ilteorema fondamentale dell'algebrala frazione si può scrivere in una forma che ne evidenzia gli zeri e i poli:

$H(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots (s-z_{n})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{m})}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(s-z_{i})}{\prod _{i=1}^{m}(s-p_{i})}}$

Sistemi a tempo discreto

Un sistema a tempo discreto trasforma lasuccessionein ingresso$\{x\}$in un'altra successione$\{y\}$,data dalla convoluzione discreta con la risposta$h$alladelta di Kronecker:

$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]$

Gli elementi di$\{y\}$possono dipendere da ogni elemento di$\{x\}$.Solitamente$y[n]$dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo$n$.

Gli esponenziali del tipo$z^{n}=e^{sTn}$,con$n\in \mathbb {Z}$,sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante discreto. Infatti, detto$T\in \mathbb {R}$il periodo di campionamento e$z=e^{sT}$,con$z,s\in \mathbb {C}$,si supponga$x[n]=\,\!z^{n}$l'ingresso del sistema. Se$h[n]$è la risposta impulsiva, si ha:

$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$

La funzione:

$H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$

dipende solo dal parametroz,ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione)$z^{n}$del sistema LTI. Latrasformata zeta:

$H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure$e^{i\omega n}$,con$\omega \in \mathbb {R}$,che possono essere scritte come$z^{n}$,dove$z=e^{i\omega }$.Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dallatrasformata di Fourier a tempo discreto:

$H(e^{i\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}$

Sistemi non lineari

Per i sistemi non lineari l'uscita può essere approssimata dallaseriecomposta dalla risposta$h_{1}(\tau _{1})$di un sistema lineare, sommata alla risposta$h_{2}(\tau _{1},\tau _{2})$di un sistema quadratico, sommata a quella$h_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$di uno cubico, e così via:

${\begin{aligned}y(t)&=\int _{-\infty }^{+\infty }h_{1}(\tau _{1})x(t-\tau _{1})d\tau _{1}+\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(t-\tau _{1})x(t-\tau _{2})d\tau _{1}d\tau _{2}\\&+\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(t-\tau _{1})x(t-\tau _{2})x(t-\tau _{3})d\tau _{1}d\tau _{2}d\tau _{3}+\cdots \end{aligned}}$

dove$x$è l'ingresso. La serie può convergere o divergere a seconda del sistema considerato e dell'ampiezza dell'ingresso; se converge allora l'uscita può essere scritta con i primi termini non nulli dello sviluppo e la funzione di trasferimento$H_{n}(s_{1},s_{2},\dots,s_{n})$è definita, in modo simile ai sistemi lineari, come la trasformata:

$H_{n}(s_{1},s_{2},\dots,s_{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\dots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\dots,\tau _{n})e^{-(s_{1}\tau _{1}+s_{2}\tau _{2}+\dots +s_{n}\tau _{n})}d\tau _{1}\,d\tau _{2}\,\dots,\ d\tau _{n}$

Bibliografia

• Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni.Fondamenti di controlli automatici.McGraw-Hill Companies, giugno 2008.ISBN 978-88-386-6434-2.
• (EN) Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger,Signals and systems,2nd ed., Wiley, 2001,ISBN 0-471-98800-6p. 50
• (EN) Garrett Birkhoff e Rota, Gian-Carlo,Ordinary differential equations,New York, John Wiley & Sons, 1978,ISBN0-471-05224-8.
• (EN) Karsuhiko Ogata.Modern Control Engineering.Prentice Hall, 2002.

Voci correlate

• Controllo automatico
• Convoluzione
• Delta di Dirac
• Equazione differenziale lineare
• Regola di Mason
• Risposta impulsiva
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Stabilità esterna
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein,Funzione di trasferimento,suMathWorld,Wolfram Research.
• (EN)Transfer function,inPlanetMath.
• (EN)ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems— Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• (EN)ECE 209: Sources of Phase Shift— Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simpleLTIsystems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.
• (EN)Transfer function model in Mathematica,sureference.wolfram.com.