Illustrazione della definizione in termini dell'iperbole equilatera
Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:
Data un'iperbole equilateraunitaria, quindi con,centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo,consideriamo ilsettore iperbolicodi aperturaed area:questo determina un puntocome intersezione con l'iperbole; definiamo quindi l'ordinata del puntocomeseno iperbolico() della suddetta area,nonché la relativa ascissacomecoseno iperbolico() sempre della suddetta area,come indicato in figura (cioèe).
Conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramiteecosì come si fa per quelle trigonometriche. È inoltre possibile legarle alla funzioneesponenzialegrazie alla definizione di quest'ultima (vederederivazione delle funzioni iperboliche).
Funzione seno iperbolico
Funzione coseno iperbolico
Funzione tangente iperbolica
Funzione cotangente iperbolica
Funzione secante iperbolica
Funzione cosecante iperbolica
In queste definizionisi può considerare variabilerealeocomplessa.
Grafici delle funzioni iperboliche:sinh,coshetanh(argomenti reali)Grafici delle funzioni iperboliche:csch,sechecoth(argomenti reali)
Perreale la funzioneè unafunzione pari,cioè simmetrica rispetto all'asse;la funzioneè invece unafunzione dispari,cioè simmetrica rispetto all'origine.
Conseguentemente sono funzioni dispari anche,e,mentreè pari.
Si trovano poi i seguenti valori particolari:
Così come al variare della variabile realei puntidefiniscono lacirconferenza,analogamente i puntidefiniscono l'iperboleequilatera
Questa è una conseguenza dell'identità:
derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.
Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sonoperiodichenel campo deinumeri reali,ma lo sono nel campo deinumeri complessi,quando hanno argomento immaginario, così come lo è lafunzione esponenziale.
L'argomentodelle funzionisenoecosenoche definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come unangolo;laargomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore iperbolico compreso tra il segmento che collega l'origine con il puntosu un ramo dell'iperbole equilateradi equazione,l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel puntosull'assee il segmento sull'asseda questo punto all'origine. Tuttavia, in realtà, si può verificare che anche laargomento delle funzioni trigonometriche, se,oltre che come angolo espresso inradianti,si può intendere come il doppio dell'area delsettore circolarecompreso tra il segmento che collega l'origine con il puntosullacirconferenza unitariadi equazione,l'arco di tale circonferenza che dal punto si conclude nel puntosull'assee il segmento sull'asseda questo punto all'origine.
Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondentiidentità trigonometriche.
In effetti la regola di Osborn[1]specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogniine ogniine infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due.Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione:
e le formule di duplicazione
e le formule di bisezione
Laderivatadiè data dae la derivata diè;questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.
Il grafico della funzioneè la curvacatenaria,profilo assunto da un cavo di densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.
È possibile esprimere le funzioni iperboliche in termini disviluppi di Taylor:
La funzioneha serie di Taylor con soli termini dispari, e quindi il seno iperbolico è unafunzione dispari,ossia,e
La funzionepresenta invece solo termini pari, come ci si aspetta da unafunzione pari,simmetrica rispetto all'asse delle.La somma del seno e del coseno iperbolici rappresenta lo sviluppo dellafunzione esponenziale.
Dato che lafunzione esponenzialepuò essere definita per ogni argomentocomplesso,possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioniesono quindiolomorfeper ogni argomento complesso, e si possono sviluppare inserie di Taylor.
Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dallaformula di Euleroper i numeri complessi:
I nomi delle funzioni iperboliche inverse citati in questo articolo sono quelli ufficiali dettati dalle normeISO.[2]I loro nomi derivano da abbreviazioni di espressioni latine. Per esempioderiva daarea sinus hyperbolicus,deriva daarea cosinus hyperbolicus,ecc.
Spesso si trovano anche le diciture arcsinh, arccosh, ecc. che sono chiaramente mutuate dai nomi delle funzioni trigonometriche inverse. Queste diciture sono però concettualmente errate perché le funzioni iperboliche e le loro inverse non hanno nulla a che vedere con gli archi.
Infine nella tradizione italiana è frequente trovare i nomi(settore seno iperbolico,in riferimento all'area corrispondente),e via dicendo. Seppur concettualmente corretti, questi nomi non seguono le norme ISO e le convenzioni internazionali.