Gittata

Traiettoria parabolica percorsa da un proiettile nel vuoto

Lagittataè la distanzalongitudinalepercorsa da uncorpolanciato inaria,avente quindivelocitàcon componente vettoriale inascissae inordinata. In campo militare, lagittatadi un'arma (oportata) corrisponde alla distanza massima cui un'arma può colpire un bersaglio.

Approccio cinematico

La gittata è equivalente alla differenza trapunto di arrivoe punto di partenza, dove il punto di arrivo coincide con il punto di contatto con ilsuoloe il punto di partenza coincide col punto in cui avviene il lancio. L'intervallo temporale in cui il corpo è in aria è dettotempo di volo.

Per ricavare la gittata di un proiettile nel vuoto basta risolvere il sistema costituito dall'equazione della traiettoria e dall'equazione dell'asse delle ascisse (ricavando in particolare il valore che assume$x$).

$y=\left(\tan \theta \right)x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}$

Imponendo$y=0$,cioè stabilendo il teorico punto di atterraggio del corpo lanciato, l'equazione diventa:

$x\left[(\tan \theta )-\left({\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)x\right]=0$

Escludendo quindi la possibilità che il valore di$x$sia uguale a zero (tale valore corrisponde al punto iniziale della traiettoria), l'equazione risulta:

$(\tan \theta )-\left({\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)x=0$

Ora occorre semplicemente isolare il valore della gittata$x$.In questo modo si ha laformula:

$x={\frac {2v_{0}^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )}{g}}$

semplificabile in:

$x={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\theta )}{g}}$

dove$x$rappresenta la gittata,$v_{0}$lavelocitàiniziale dell'oggetto (ad esempio lavelocitàdi uscita di unproiettiledalla bocca di uncannone),$g$è l'accelerazionedigravitàsullaTerra(circa$9.81m/s^{2}$) ed infine$\theta$è l'angoloiniziale dellatraiettoriarispetto al terreno. Questa equazione non è però valida se la quota finale considerata è diversa dalla quota di lancio; si può inoltre ragionevolmente assumere che per basse velocità essa sia valida anche nel moto attraverso l'aria, mentre a velocità più elevate la differenza tra il moto ipotizzato e quello effettivamente percorso aumenta. Nel caso invece in cui il lancio del proiettile avvenga ad una quota$h$,la gittata si trova risolvendo rispetto a$x$l'equazione di secondo grado:

$-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}+x\tan \theta +h=0$

dove$v_{0}$è la velocità con cui viene sparato il proiettile,$\theta$l'angolo di tiro e$h$l'altezza (rispetto al suolo) a cui avviene il tiro. L'equazione avrà dueradici,una delle quali va scartata perché avente valore negativo, e pertanto priva di senso.

Si noti che$x$,a parità divelocitàiniziale, ha valore massimo per$\sin(2\theta )=1$,cioè quando$2\theta ={\frac {\pi }{2}}\equiv 90^{\circ }$,che corrisponde a$\theta ={\frac {\pi }{4}}\equiv 45^{\circ }$.Inoltre a parità di velocità iniziale il valore di$x$è medesimo con angoli di lancio$\theta$ed il loro complementare$90^{\circ }-\theta \equiv {\frac {\pi }{2}}-\theta$.

Nel caso in cui il proiettile venga lanciato da un'altezza h diversa da 0, la massima gittata si ha invece per:

cos(θ) =${\sqrt {\frac {2gh+v_{0}^{2}}{2gh+2{v_{0}}^{2}}}}$

Nel semplice caso in cui un proiettile venga sparato con velocità orizzontale da un'altezza$h$,la gittata può essere calcolata direttamente con la formula:

$x={\sqrt {\frac {2hv_{0}^{2}}{g}}}$

Bibliografia

• Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori,L'Evoluzione della Fisica-Volume 1,Paravia, 2006,ISBN978-88-395-1609-1.

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