Iperboloide

Superficie matematica di iperboloide di un foglio

Superficie matematica di iperboloide di un foglio

Ingeometriauniperboloideè unaquadrica,cioè un tipo di superficie nello spazio tridimensionale rappresentata da un'equazione polinomiale delsecondo ordinenelle tre variabili spaziali.

Rappresentazione analitica

L'equazionecanonica(cioè riferita ai propri assi principali) dell'iperboloide è della forma

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$,iperboloide a una falda(iperboloide iperbolico),

oppure della forma

$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$,iperboloide a due falde(iperboloide ellittico).

L'iperboloide a una falda si definisce ancheiperboloide iperbolicoin quantotuttii suoi punti sono di tipo iperbolico. Un punto di una quadrica si diceiperbolicoquando il piano tangente alla superficie in quel punto interseca la stessa superficie in due rette reali e distinte.

L'iperboloide a due falde si definisce ancheiperboloide ellitticoin quantotuttii suoi punti sono di tipo ellittico. Un punto di una quadrica si diceellitticoquando il piano tangente alla superficie in quel punto interseca la stessa superficie in due rette immaginarie coniugate.

Nel caso dell'iperboloide a due falde, nel piano z = 0 non esistono soluzioni reali, mentre ne esistono infinite nel caso dell'iperboloide a una falda, e corrispondono ai punti di una curva chiusa (ellissi).

Nelle figure z è l'asse verticale.

iperboloide a una falda.

iperboloide a due falde.

Quando$a=b$si ha uniperboloide di rotazioneintorno all'asse z. Larotazionedi unaiperboleattorno al suo asse focale genera un iperboloide a due falde; la rotazione attorno all'asse perpendicolare all'asse focale genera un iperboloide a una falda.

Si può anche definire un iperboloide a due falde di rotazione, il cui asse passi per due punti fissati che chiamiamo A e B, come il luogo dei punti P tali che presentano costante la differenza di distanze |AP-BP|. I punti A e B sono chiamati ifuochidell'iperboloide.

Un iperboloide a una falda è unasuperficie rigata;se in particolare si tratta di un iperboloide di rivoluzione, la superficie può essere ottenuta anche dalla rotazione di una retta attorno ad una retta sghemba rispetto alla precedente. Letorri di raffreddamentoin cemento armato hanno la forma di un iperboloide a una falda perché la loro geometria consente una efficiente dissipazione del calore.

Si diceiperboloide degenereuna superficie della forma:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$;

sea=bsi ha uncono;in caso contrario si ha uncono ellittico.

Bibliografia

• Giuseppe Vaccaro,Lezioni di geometria, vol. I,Roma,Veschi, 1975.
• Edoardo Sernesi,Geometria 2,Torino,Bollati Boringhieri,1994,ISBN978-88-339-5548-3.

Voci correlate

• Struttura iperboloide
• Ellissoide
• Paraboloide
• Iperbole (geometria)

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Collegamenti esterni

• (EN)hyperboloid,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Iperboloide,suMathWorld,Wolfram Research.