Omotetia

Inmatematica,in particolare ingeometria,un'omotetia(composto dai terminigrecihomós,"simile" etíthemi,"pongo" ) è una particolaretrasformazione geometricadelpianoo dellospazio,che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nellesimilitudini,di cui è infatti un caso particolare.

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta conMichel Chaslesnel1827.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro$A$e di rapporto$\scriptstyle -{1 \over 2}.$

Corrispondenza omotetica tra due proiezioni complanari di una sezione di un cono quadrico eseguita con un piano parallelo al piano di proiezione.

Un'omotetia di centro$A$e di rapporto$c$(numero reale diverso da zero) è una trasformazione dellospazio euclideosecondo cui un qualsiasi punto$P$dello spazio viene spostato, sullasemiretta$AP$se$c$positivo o sullasemiretta$PA$se$c$negativo, in modo che la sua distanza da$A$cambi secondo il fattore costante$|c|$.

Nell'esempio grafico a fianco$c=-{1 \over 2}$,quindi il punto$P$viene trasformato in$P'$sulla semiretta$PA$(ovvero la semiretta che origina in$P$e va verso$A$) tale che${\overline {AP'}}={1 \over 2}{\overline {AP}}$.

Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

• dilatazione, se$|c|>1;$
• contrazione, se$0<|c|<1;$
• se$c=1$si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a sé stesso;
• se$c=-1$si ottiene lasimmetria centraledi centro il punto$A$o larotazionedi centro$A$pari a un angolo piatto

L'omotetia è una particolaresimilitudine,ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro$A$,un generico punto$P$e il suo trasformato$P'$sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.

Definizione tramite vettori

Mediante ivettori,l'omotetia di centro$A$e di rapporto$c\neq 0$si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto$P$nell'unico punto$P'$soluzione dell'equazione vettoriale:

${\overrightarrow {AP'}}=c\cdot {\overrightarrow {AP}}.$

Molto spesso si dice che l'omotetia siadirettaoinversasecondo che$c$sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.

Proprietà

Una omotetia moltiplica tutte le distanze per$|c|$,di conseguenza tutte le aree per$|c|^{2}$(o$c^{2}$) e tutti i volumi per$|c|^{3}$.

Se$c\neq 1$(cioè se non è un'identità), allora l'unico puntounitoè il punto$A$e le uniche retteunitesono quelli passanti per$A$(si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).

Algebra lineare

Un'omotetia è unatrasformazione affine,definita in unospazio euclideodidimensionequalsiasi.

Se il centro$A$dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è unatrasformazione lineare,la cuimatrice associatarispetto ad una qualunque base è data dallamatrice identitàmoltiplicata per il fattore$c$,ovvero dallamatrice diagonaleavente tutti gli elementi delladiagonale principalepari a$c$.

Voci correlate

• Similitudine (geometria)
• Isometria
• Rotazione (matematica)
• Traslazione (geometria)
• Riflessione (geometria)
• Auto similarità

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Collegamenti esterni

• omotetia,inDizionario delle scienze fisiche,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,1996.
• (EN) Eric W. Weisstein,Omotetia,suMathWorld,Wolfram Research.

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