Sistema di riferimento cartesiano

Rappresentazione di alcuni punti nel piano cartesiano

Inmatematica,unsistema di riferimento cartesianoè unsistema di riferimentoformato da$n$retteortogonali,intersecantisi tutte in un punto chiamatoorigine,su ciascuna delle quali si fissa unorientamento(sono quindirette orientate) e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa unametricadi solitoeuclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'insiememediante$n$numeri reali.In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio didimensione$n$.

Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano.

Per identificare la posizione di punti nellospazio fisicoviene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contestogradi di libertà.

Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere unacirconferenzanel piano cartesiano, oppure unaquadricanello spazio tridimensionale.

Storia

L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta daNicola d'Oresme,matematico del XIV secolo operante a Parigi.L'aggettivocartesianoè riferito almatematicoefilosofofranceseRené Descartes(latinizzato inRenatus Cartesius,italianizzato inRenato Cartesio), il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebracon lageometria euclidea.Questi studi furono influenti nello sviluppo dellageometria analitica,delcalcolo infinitesimalee dellacartografia.

L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti daCartesioe, indipendentemente, daPierre de Fermat,anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta.Nella seconda parte del suoDiscorso sul metodo,Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di unpuntoo di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa inLa Geometria.

Piano cartesiano

Un sistema di coordinate cartesiane ortogonale in due dimensioni è semplicemente chiamato piano cartesiano, ed è costituito da:

• l'asse delle ascisse, orizzontale, che costituisce la retta di riferimento, chiamata da Oresmelongitudo(solitamente caratterizzata dalla lettera$x$);
• l'asse delle ordinate, verticale, che costituisce la retta ortogonale alla retta di riferimento, chiamata da Oresmelatitudo(solitamente caratterizzata dalla lettera$y$);
• l'origine, il punto nel quale le due rette si incontrano.

Il piano cartesiano, che viene spesso chiamato$xy$dal nome degli assi, può essere immaginato, pensando che il piano sia immerso orizzontalmente nello spazio fisico (pavimento), e mettendosi in piedi in un punto con il braccio sinistro teso in avanti e il braccio destro teso di lato in modo da formare con le due braccia unangolo retto:il punto sul quale si rappresenta l'origine, la direzione del braccio destro rappresenta l'asse delle ascisse positive (dalla parte opposta le ascisse negative), la direzione del braccio sinistro rappresenta l'asse delle ordinate positive (alle spalle le ordinate negative).

L'equazione$x^{2}+y^{2}=4$rappresentata nel piano$xy$rappresenta una circonferenza diraggio$2$e centrata nell'origine.

Il sistema costituito dalla coppia dei due assi orientati (e implicitamente dall'origine) consente di individuare ogni punto del piano con una coppia di numeri reali chiamati rispettivamenteascissaeordinatadel punto, i cui valori assoluti rappresentano le distanze del punto rispettivamente dall'asse$y$(ordinata) e dall'asse$x$(ascissa). Le coordinate di un punto generico del piano o di un punto che si pensa variabile spesso si denotano con$x$e$y$.I punti sull'asse$x$hanno quindi ordinata$y=0$,mentre i punti sull'asse$y$hanno ascissa$x=0$;di conseguenza l'origine ha coordinate$x=0$e$y=0$.Talora il sistema dei due assi si denota con$Oxy$.

Un generico punto si può quindi esprimere scrivendo$\left(x;y\right)$ oppure$\langle x;y\rangle$.Ad esempio, i punti$(2;3)$e$(2;5)$hanno la stessa ascissa (quindi si trovano su una retta parallela all'asse$y$), mentre i punti$(2;3)$e$(-1;3)$hanno la stessa ordinata (quindi si trovano su una retta parallela all'asse$x$). In particolare: se due punti hanno la stessa ascissa ma ordinate opposte sonosimmetricirispetto all'asse$x$;se due punti hanno la stessa ordinata ma ascisse opposte sono simmetrici rispetto all'asse$y$;se due punti hanno coordinate opposte sono simmetrici rispetto all'origine.

Il piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominatequadranti,indicate mediantenumeri romaniprogressivi in senso antiorario:

• I quadrante: comprende i punti aventi ascissa e ordinata positive;
• II quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa e ordinata positiva;
• III quadrante: comprende punti aventi ascissa e ordinata negative;
• IV quadrante: comprende punti aventi ascissa positiva e ordinata negativa.

Il piano cartesiano permette di rappresentare graficamentefunzionidi equazione$y=f(x)$in cui$x$è la variabile indipendente e$y$la variabile dipendente. Ciò permette di visualizzare la "forma" delle funzioni (o curve) e risolvere graficamente sistemi di più equazioni come intersezioni tra le curve corrispondenti.

Il piano cartesiano come spazio vettoriale

Per definizione, esiste unacorrispondenza biunivocafra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali. L'insieme di tutte le coppie di numeri reali,$\mathbb {R} ^{2}$è un$\mathbb {R}$-spazio vettoriale.Labase canonicadi$\mathbb {R} ^{2}$è$E=\left(E_{1},E_{2}\right)$ove$E_{1}=\left(1,0\right)$ed$E_{2}=\left(0,1\right)$.Gli elementi di$E$hanno un importante significato geometrico: sono iversori fondamentalisul piano, rispettivamente${\vec {\imath }}$e${\vec {\jmath }}$.Ciò vuol dire, per la definizione stessa di base di uno spazio vettoriale, che il piano cartesiano è generato dai versori fondamentali e che ogni punto del piano è esprimibile,in modo unico,comecombinazione linearedei versori fondamentali (ciò giustifica l'espressione dei punti del piano cartesiano). Si noti inoltre che ogni asse cartesiano èsottospazio vettorialedel piano cartesiano.

Generalizzazione a tre dimensioni

Il primoottantedi un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale, con l'asse$x$che punta verso l'osservatore ( "esce" dallo schermo). Sono evidenziate le proiezioni del punto sull'asse$z$,sul piano$xy$e le successive proiezioni sui due assi$x$e$y$.

Aggiungendo una terza dimensione al piano otteniamo lospazio euclideotridimensionale, che è la modellizzazione a noi più familiare dello spazio fisico, e quella usata inmeccanica classica:un sistema di assi cartesiani può quindi essere usato comesistema di riferimentoper localizzare degli oggetti nello spazio, attribuendogli delle coordinate.

Essendo una diretta generalizzazione del piano cartesiano, un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale è formato da tre rette orientate perpendicolari tra loro e incidenti in un punto, denominato origine degli assi. I tre assi (chiamati solitamente$x,\;y$e$z$) identificano tre piani nello spazio ($xy$,$xz$e$yz$), che dividono lo spazio in ottoottanti,simili ai quattro quadranti formati dagli assi cartesiani in due dimensioni. Ogni punto è identificato da 3 coordinate, che rappresentano ognuna la distanza del punto al piano formato dagli altri due.

Come nel caso del piano, ogni punto dello spazio tridimensionale può essere individuato da un vettore nello spazio tridimensionale (indicato come$\mathbb {R} ^{3}$) e viene espresso comecombinazione linearedei treversoridi base, indicati convenzionalmente con${\hat {\imath }}$,${\hat {\jmath }}$e${\hat {k}}$:

${\vec {v}}=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}$

dove$x$,$y$e$z$rappresentano proprio le coordinate nel punto nel sistema di riferimento formato dalla base$({\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}\,\!)$.

Geometria analitica

Il piano cartesiano (e più in generale il sistema di riferimento cartesiano a$n$dimensioni) ha permesso di conciliare lageometriae l'algebrain un'unica branca dellamatematica:lageometria analitica(chiamata così dall'analisi matematica). Per esempio nel piano cartesiano una retta rappresenta le soluzioni di un'equazione di primo grado in due variabili$x$e$y$del tipo$ax+by+c=0$;l'intersezione di due (o più) rette rappresenta unsistema di equazionilineari.

Forma esplicita e forma implicita

Le equazioni di cui si è detto prima possono essere espresse in due forme: la forma esplicita e la forma implicita.

Nel caso ad esempio di una retta, la prima consiste un'equazionedel tipo$y=mx+q$,mentre la seconda si presenta come$ax+by+c=0$.Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta portare tutti i termini escluso$by$nel secondomembroe poi dividere perb(principio di equivalenza delle equazioni). Si noti che, nella forma esplicita, iltermine noto$q$,dettointercettao ordinata all'origine, indica l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse$y$,mentre ilcoefficientedell'incognita$x$,$m$,è dettocoefficiente angolareed indica la "pendenza" dellaretta. Naturalmente il passaggio dalla forma implicita a quella esplicita è possibile solo se il coefficiente$b$è diverso da zero, cioè solo se la retta non è parallela all'asse delle ordinate.

L'equazione della retta

Dati due punti distinti$A=(x_{1},y_{1})$e$B=(x_{2},y_{2})$,l'equazione della retta passante per quei punti è:${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$anche detta$y=mx+q$dove$m$è il coefficiente angolare dato da${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Cartesio
• Diagramma
• Piano complesso
• Retta dei numeri reali
• Retta nel piano cartesiano
• Sistema di riferimento
• Sistema di coordinate polari
• Sistema di coordinate terrestri
• Spazio (fisica)

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Collegamenti esterni

• (EN) Stephen Eldridge,Cartesian coordinates,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Sistema di riferimento cartesiano,suMathWorld,Wolfram Research.
• (EN)Sistema di riferimento cartesiano,suEncyclopaedia of Mathematics,Springer e European Mathematical Society.
• (EN)Costruire oggetti di geometria analitica,sumygeometryteacher.com.URL consultato il 3 marzo 2008(archiviato dall'url originaleil 15 settembre 2017).

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