Potenza di due

Inmatematica,unapotenza di dueè ogninumero interopotenzadel numerodue,ovvero che si può otteneremoltiplicandodue per sé stesso un certo numero di volte. Una potenza di due è anche 1, in quanto 2⁰= 1. Scritta nelsistema binario,una potenza di due assume sempre la forma 10000...0, somigliando alle potenze di 10 nelsistema decimale.

Informatica

Visto che il due è la base del sistema binario, le potenze di due sono importanti ininformatica.In particolare, 2ⁿè il numero di modi in cui possono essere disposti ibitin un intero di lunghezzan,quindi i numeri che sono inferiori di uno ad una potenza di due indicano il limite massimo degli interi nei computer e neilinguaggi di programmazione(uno di meno in quanto è 0, non 1, il limite inferiore). Di conseguenza, numeri del genere sono frequenti nel software. Ad esempio, nelvideogiocoLa leggenda di Zeldaper ilNintendo Entertainment Systemad8 bit,si potevano raccogliere fino ad un massimo di255rupie: il numero veniva registrato in uno spazio di unbyte,che è lungo 8 bit, e quindi il valore massimo era 2⁸- 1 = 255.

Le potenze di due misurano anche la memoria dei computer. Unnibbleequivale a una quaterna (2²) di bit, un byte equivale ad otto (2³) bit, mentre unkilobyte(o più precisamente unkibibyte) equivale a 1.024 (2¹⁰) byte. Quasi tutti i registri deiprocessorihanno dimensioni che sono potenze di due (32 nella maggioranza deipersonal computerattuali).

Attenzione a non confondere il numero di bit con i valori (o combinazioni) che questi sono in grado di rappresentare (la quantità di informazioni). Infatti, ricordando che ogni bit può assumere 2 valori nel sistema binario (lo zero e l'uno), una sequenza di 8 bit (cioè un byte) è in grado di rappresentare ben (2⁸) ovvero 256 valori o elementi diversi. Per intenderci:

00000000 = 0
00000001 = 1
00000010 = 2
00000011 = 3
....
11111111 = 255

Se si tiene conto, come già detto prima nell'esempio del videogioco, anche dello 0, sono in totale 256 combinazioni o valori rappresentabili da un byte. Di conseguenza, un byte è composto da otto (2³) bit ma è in grado di rappresentare (2⁸) 256 valori diversi.

Le potenze di due si possono trovare anche in molti altri tecnicismi. In moltihard diskalmeno uno fra la dimensione dei settori, il numero di settori per traccia ed il numero di tracce per piatto è una potenza di due. La dimensione logica dei blocchi è quasi sempre una potenza di due.

In molte situazioni, come nel caso delle risoluzioni video, si trovano numeri che non sono potenze di due, ma possono essere scritte come la somma di due o tre potenze di due, o di potenze di due meno uno. Ad esempio, 640 = 512 + 128 e 480 = 32 × 15. Detto in altro modo, si tratta di numeri con scritture binarie molto semplici (in termini specifici, scritture con bassacomplessità di Kolmogorov).

Matematica

Nell'ambito dellamatematicale potenze di due forniscono i numeri dei sottoinsiemi degli insiemi finiti: più precisamente 2ⁿè il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Se si distinguono i sottoinsiemi con 0, 1, 2,..., n elementi si arriva alla seguente significativaidentità combinatoria:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$

Inteoria dei numeriunnumero primoche è minore di uno rispetto ad una potenza di due che ha per esponente un numero primo è chiamatonumero primo di Mersenne.Ad esempio, il numero primo31è un primo di Mersenne in quanto 2⁵-1 = 31.

C'è inoltre un teorema che asserisce che un qualsiasinumero naturalenon nullo sia scrivibile come somma finita di potenze di due. Di seguito una dimostrazione:

Sia k un numero naturale, non nullo e pari. Per induzione partendo dal caso iniziale k=2, si vede che è scrivibile come 2¹,quindi è verificato. Assunto quindi vero per un naturale pari non nullo generico k, verifichiamo che sia vero per il successivo, ovvero k+2:

$k+2=(2^{a}+2^{b}+2^{c}+...)+2^{1}$con$a,b,c$naturali e, solo nel caso$k$pari, non nulli.

Si nota che se non è presente nella somma la potenza di$2$con esponente 1 allora è automaticamente verificato che$k+2$è scrivibile come somma di potenze di due, se invece è presente, allora la si eliminerà e si aggiungerà una potenza$2^{2}$,poiché$2^{1}+2^{1}=2^{1}\cdot 2^{1}=2^{1+1}=2^{2}$.A questo punto come prima, se non è presente questa potenza allora la prova è finita, se no la si elimina e si aggiunge una potenza a esponente maggiore. Dato che la somma che determina$k$è finita, il processo iterativo converge in una somma finita ed è finita la dimostrazione. Per il caso dispari si procede allo stesso modo tenendo conto che il caso base sarà$1=2^{0}$.Unendo i due risultati si ricoprono tutti i numeri naturali positivi non nulli per cui il teorema è dimostrato.

Questo teorema ha una simpatica applicazione neigiochi di prestigiomatematici: si prendano 5 tabelle con 15 caselle ciascuna e nella prima casella si scrivano progressivamente, una per tabella, le potenze di 2 da 0 a 4. Si scrivano poi su un foglio i numeri da 1 a 30 come somma di potenze di due (sempre possibile per il teorema appena dimostrato, si ricordi di scrivere questa somma con al massimo un termine per ogni esponente, ad esempio non va scritto 15=2⁰+2¹+2²+2²+2²,ma 15=2⁰+2¹+2²+2³). Si riempiano quindi le tabelle alla seguente maniera:

1	3	5	7	9
11	13	15	17	19
21	23	25	27	29

2	3	6	7	10
11	14	15	18	19
22	23	26	27	30

4	5	6	7	12
13	14	15	20	21
22	23	28	29	30

8	9	10	11	12
13	14	15	24	25
26	27	28	29	30

16	17	18	19	20
21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Così da avere nelle tabelle tutti i numeri che hanno la potenza corrispondente al primo numero della tabella nella somma di potenze che li determinano. A questo punto basta far scegliere casualmente un numero da 1 a 30 al giocatore e mostrarli in sequenza le tabelle chiedendo per ognuna se il numero pensato si trova tra quelli scritti. Alla fine il numero che ha scelto è la somma delle prime caselle (ovvero delle potenze di 2) delle tabelle in cui ha affermato ci fosse il numero che aveva pensato. Ad esempio, se dice che il numero è presente nella seconda, quarta e quinta tabella, allora sta pensando al numero$2+8+16=2^{1}+2^{3}+2^{4}=26$.

Le prime quaranta potenze di due

21	=	2		211	=	2 048		221	=	2 097 152		231	=	2 147 483 648
22	=	4		212	=	4 096		222	=	4 194 304		232	=	4 294 967 296
23	=	8		213	=	8 192		223	=	8 388 608		233	=	8 589 934 592
24	=	16		214	=	16 384		224	=	16 777 216		234	=	17 179 869 184
25	=	32		215	=	32 768		225	=	33 554 432		235	=	34 359 738 368
26	=	64		216	=	65 536		226	=	67 108 864		236	=	68 719 476 736
27	=	128		217	=	131 072		227	=	134 217 728		237	=	137 438 953 472
28	=	256		218	=	262 144		228	=	268 435 456		238	=	274 877 906 944
29	=	512		219	=	524 288		229	=	536 870 912		239	=	549 755 813 888
210	=	1 024		220	=	1 048 576		230	=	1 073 741 824		240	=	1 099 511 627 776

Potenze di due i cui esponenti sono potenze di due

Poiché le moderne celle di memoria e registri hanno spesso un numero di bit che è una potenza di due, le potenze di due che si trovano più frequentemente sono quelle in cui anche l'esponente è a sua volta una potenza di due:

2	=	21
4	=	22
16	=	24
256	=	28
65 536	=	216
4 294 967 296	=	232
18 446 744 073 709 551 616	=	264
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456	=	2128
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936	=	2256

Molti di questi numeri indicano il numero di valori rappresentabili usando i comunitipi di dato.I primiminicomputerdeglianni 1970disponevano di indirizzi di soli16 bite le loro memorie centrali non potevano superare i 64kibibyte(allora si scriveva 64K). Neglianni 1980cominciò a diventare comune la possibilità di servirsi di una word di32 bit(4 byte) per rappresentare 2³²valori distinti, che possono essere interpretati come semplici liste di bit, o come più comunemente accade come un intero privo di segno da 0 a 2³²-1 o come un intero con segno fra -2³¹e 2³¹-1. Con i microprocessori più recenti una doubleword di64 bitconsente di rappresentare gli interi naturali da 0 a 2⁶⁴-1 o gli interi fra -2⁶³e 2⁶³-1.

Altre potenze di due notevoli

• 2²⁴=16 777 216:il numero di colori diverso che possono essere rappresentati intruecolor,come nella maggioranza degli schermi per computer. Questo numero risulta dall'uso del sistemaRGBa tre canali, con 8 bit per ogni canale, e quindi 24 in totale.

• 2⁴⁸=281 474 976 710 656:estensione deltruecolor,supportata da diverse macchine fotografiche digitali e scanner di fascia medio-alta. Viene codificato sempre inRGBma con i singoli canali Red Green Blue da 16 bit l'uno. Molti formati grafici (JPEG, TIFF, TGA,...) sono stati adattati per supportare questa modifica. Viene anche chiamato RGB161616

La leggenda sulla nascita degli scacchi

Unaleggendalegata alla potenza di due e che spiega come è facile farsi ingannare quando si ha a che fare con i numeri è laleggenda sulla nascita degli scacchi.

Secondo una leggenda indiana, l'inventore degli scacchi fu Sessa, maestro di un principe. Con questo gioco Sessa voleva far capire che il successo del comandante deriva dalla giusta armonia tra lui ed i suoi sottoposti, così come il Re degli scacchi, per quanto il pezzo più importante, non può che perdere senza l'appoggio dei pedoni e degli altri pezzi. Il principe fu molto colpito dalla sagacia del gioco, e promise a Sessa qualunque cosa egli avesse richiesto come ricompensa. In premio Sessa chiese un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza e così via, sempre raddoppiando fino alla sessantaquattresima casella. Sembrava una richiesta modesta, e Sessa fu deriso da molti: avrebbe potuto chiedere molto oro, ma apparentemente si stava accontentando di qualche chilo di grano. Il principe ordinò che la richiesta fosse esaudita ma, dopo che i contabili di palazzo ebbero calcolato il numero dei chicchi promessi, la verità venne presto rivelata: si trattava di pagare al furbo Sessa ben2⁶⁴-1chicchi (cioè la somma di 1+2+2²+2³+....+2⁶³) equivalenti a 18.446.744.073.709.551.615 chicchi, una quantità tale che i raccolti di tutto il mondo non bastavano a soddisfare! Ci sonodiverse versionisu come reagì il principe, una volta scoperto l'importo del conto da pagare.

Voci correlate

• Numero primo di Mersenne
• Numero perfetto
• Numero pratico

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