Spirale

Rappresentazione grafica di una spirale

Unaspirale,inmatematica,è unacurvache si avvolge attorno a un determinatopuntocentrale oasse,avvicinandosi o allontanandosi progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

Spirali a due dimensioni

Una spirale adue dimensionipuò essere descritta usando le coordinate polarie imponendo che ilraggio$r$sia unafunzione continuaemonotonadi$\theta$.Il cerchio sarebbe visto come un caso degenere (essendo la funzione non strettamente monotona, ma costante).

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

• Laspirale archimedea:$r=a+b\theta$
• Laspirale di Cornuoclotoide
• Laspirale di Fermat:$r={\sqrt {\theta }}$
• Laspirale iperbolica:$r=a/\theta$
• Illituo:$r=1/{\sqrt {\theta }}$
• Laspirale logaritmica:$r=ab^{\theta }$;approssimazioni di questa curva si ritrovano in natura.

Lunghezza

Nota la funzione$r(\theta )$con la quale varia il modulo del vettore posizione, è possibile parametrizzare la curva nel piano$XY$con le coordinate polari$(x,y)=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })$,e quindi svolgere l'integrale curvilineo per determinare la lunghezza$l$della curva$C=(r\cos {\theta },r\sin {\theta })$,in cui ricordiamo che$r=f(\theta )$:

$l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}|C'(\theta )|\mathrm {d} \theta.$

Derivando la funzione$C$abbiamo che

$C'(\theta )=(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta },r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta }),$

e prendendone il modulo:

$|C'(\theta )|={\sqrt {(r'(\theta )\cos {\theta }-r(\theta )\sin {\theta })^{2}+(r'(\theta )\sin {\theta }+r(\theta )\cos {\theta })^{2}}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })+r^{2}(\theta )(\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta })}}={\sqrt {r'^{2}(\theta )+r^{2}(\theta )}}.$

Integrando quindi tra gli angoli$\theta _{1}$e$\theta _{2}$l'espressione trovata, che sarebbe il modulo della tangente alla curva spirale, si ottiene la lunghezza della curva stessa:

$l=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}(\theta )+r'^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta.$

Spirali a tre dimensioni

Come nel caso bidimensionale,$r$è unafunzione continuaemonotonadi$\theta$.Nel caso di spirali tridimensionali semplici la terza variabile,$h$(l'altezza) è una funzione continua e monotona di$\theta$,mentre nel caso di spirali tridimensionali composte, come laspirale sfericadescritta sotto,$h$aumenta con$\theta$da un lato rispetto a un punto dato, e ne diminuisce dall'altro lato.

L'elicae ilvorticepossono essere visti come tipi di spiraletridimensionali.

Spirale sferica

Unaspirale sferica(lossodromia) è la curva su una sfera tracciata da una nave che viaggia da un polo a un altro mantenendo unangolofisso (ma non un angolo retto) rispetto ai meridiani, cioè mantenendo la stessa direzione. La curva ha infinite rivoluzioni, con distanza decrescente man mano che si avvicina a ciascuno dei poli.

Simbolismo

Le spirali compaiono come motivo ornamentale comune su pietra e ceramica già nellaPreistoria.Esempi si possono trovare nella ceramica delNeolitico,ma anche nelle prime civiltà dell'Egitto, di Creta e della Cina. In Europa i motivi a spirale sono diffusi dalle culture megalitiche attraverso l'Età del Bronzofino alla primaEtà del Ferro,nonché tra i Celti e le tribù germaniche e compaiono anche sulla ceramica iberica.

Nellacultura minoicae di quellamicenea,il significato della spirale è collegato a quello dellabirintoe rimanda all'idea di energia e di evoluzione.

Le spirali trasmettono un'idea di infinito, ma possono anche avere lo scopo di scongiurare il male (apotropaico) o addirittura servire comesimbolo tribale

• 
  Newgrange– Pietra all'ingresso. Una tripla spirale (triscele), nella metà sinistra dell'immagine.
• 
  Vaso decorato a spirali del periodo egizianoNaqada II.
• 
  Frammento di vaso miceneo, daAncona,conservato alMuseo archeologico nazionale delle Marche.

NelDizionario massonicoè indicato che la spirale "simboleggia l'esistenza dell'uomo e il suo ritorno all'origine...raffigura la potenza dinamica dell'universo, ilG.A.D.U.".Essa rappresenta il percorso di fedemassonico.

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Voci correlate

• Spirale logaritmica
• Spirale archimedea
• Spirale iperbolica
• Spirale di Fermat
• Elicoidi

Altri progetti

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• Wikizionario
• Wikimedia Commons

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• Wikimedia Commonscontiene immagini o altri file suspirale

Collegamenti esterni

• (EN)Fermat's spiral on Mathworld,sumathworld.wolfram.com.
• (ES)La Espiral de Alberto Durero,sudiegovelazquez.110mb.com.

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