Teorema binomiale

Iltriangolo di Tartagliaè una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali

Inalgebra,ilteorema binomiale(o ancheformula di Newton,binomio di Newtonesviluppo binomiale) esprime lo sviluppo dellapotenza$n$-esima di unbinomioqualsiasi mediante la formula

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$,

in cui il fattore${n \choose k}$rappresenta ilcoefficiente binomialeed è sostituibile con ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel nototriangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia dinumeri realiocomplessi,ma più in generale vale in ognianello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a$n=2$,$n=3$ed$n=4$:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.$

Nel caso in cui$n$sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da unaserie infinita.Questa formula generalizzata, nel caso di$n$reale positivo, fu realizzata daIsaac Newton(da cui il nome).

Esposizione

«Il binomio di Newton è bello come laVenere di Milo,peccato che pochi se ne accorgano.»

(Fernando Pessoa)

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di$(a+b)$in una sommatoria nella forma

${\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}$

dove${\tbinom {n}{k}}$rappresentano icoefficienti binomiali.Utilizzando la notazione disommatoria,la stessa formula può essere scritta:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.$

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo$1$ad$a$e$a$a$b$,considerando quindi una solavariabile.In questa forma, si ha:

$(1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},$

o, in maniera equivalente,

$(1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.$

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato perinduzione.Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

$(a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente$n$qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k},$

si ha

$(a+b)^{n+1}$$=(a+b)(a+b)^{n}$

$=(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

e moltiplicando la sommatoria per$(a+b)$si ha

$=\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1},$

da cui

$\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}.$

Inoltre

$\ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}.$

Utilizzando nel primo passaggio laproprietà del coefficiente binomiale

${n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}$

si ha che

$(a+b)^{n+1}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}$

$={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}.$

Poiché infine

${n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1$

e

$\ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1,$

si ha che

${n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

$(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo$(a+b)^{n}$come il prodotto

$(a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots$

con$n$fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine$a^{n-k}b^{k}$è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo$n-k$volte$a$e$k$volte$b$dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da${n \choose k}$.

Poiché per laproprietà distributivail prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di$k$da$0$a$n$,si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per$n$numero naturale.È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per$(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R}$,nonché approssimarla in unintornodestro dello 0 con unaserie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$dove il resto$o(x)$indica uninfinitesimodi ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})$,

dove${\alpha \choose k}$è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

${\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}$.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione$(1+x)^{\alpha }$è

$(1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots$

e, poiché

$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha$

$\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots$

$\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)$

si ottiene

$(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots$

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al$k$-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine$o(x^{k})$.

Voci correlate

• Trinomio di Newton
• Teorema multinomiale
• Coefficiente binomiale
• Formule di Waring

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Collegamenti esterni

• (EN)binomial theorem,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Teorema binomiale,suMathWorld,Wolfram Research.

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