Teoria di gauge

Unateoria di gauge(pronuncia[ˈɡeɪʤ]) è un tipo di teoria deicampiin cui lalagrangianadel sistema rimane invariata dopo l'applicazione di trasformazioni delle coordinate definite localmente. Tali trasformazioni sono dettesimmetrie locali.

Molte importanti teorie fisiche sono descritte da lagrangiane che sono invarianti rispetto ad un qualchegruppo di trasformazioni di simmetria.Quando la trasformazione è identica per ogni punto dello spazio in cui avvengono i fenomeni fisici della teoria, si parla disimmetria globale.Al contrario, le teorie di gauge sono caratterizzate dalla presenza di simmetrie locali, nelle quali i parametri della trasformazione variano a seconda del punto dello spazio. Questo è un vincolo più stringente che viene imposto a partire dall'esistenza di una simmetria globale. In questo senso una teoria di gauge dà origine alle interazioni fisiche dalle simmetrie, fornendone un'adeguata struttura matematica.

L'importanza delle teorie di gauge per lafisicanasce dall'enorme successo di questo formalismo matematico nel descrivere in un quadro teorico unificato leteorie di campo quantisticodi tre delle quattroforze fondamentalidella natura: l'elettromagnetismo,l'interazione debolee l'interazione forte.Questo quadro teorico, noto comemodello standard,è una teoria di gauge congruppo di gaugeSU(3)×SU(2)×U(1).Anche altre teorie moderne, come lateoria delle stringhee certe formulazioni dellarelatività generale,sono, in un modo o nell'altro, teorie di gauge.

Storia

La prima teoria fisica che presentava una simmetria di gauge fu lateoria elettrodinamica di Maxwell;tuttavia l'importanza di questa simmetria delle equazioni di Maxwell non fu messa in rilievo nelle prime formulazioni. Dopo lo sviluppo da parte diEinsteindellarelatività generale,Hermann Weyl,in un tentativo di unificare tale teoria all'elettromagnetismo, ipotizzò che laEichinvarianz,o invarianza al variare dellascala di misura(appuntogaugeininglese) poteva essere anche una simmetria locale della teoria della relatività generale; purtroppo gli sviluppi di questa congettura portarono a risultati fisicamente inaccettabili. Tuttavia, dopo l'avvento dellameccanica quantistica,Weyl,FockeLondonscoprirono che quella stessa idea poteva essere sviluppata alla luce dei nuovi concetti: cambiare il fattore di scala con una quantitàcomplessae sostituire la trasformazione di scala con una trasformazione difase,cioè una simmetria di gaugeU(1),spiegava elegantemente l'effetto di un campo elettromagnetico sullafunzione d'ondadi unaparticella quantisticaelettricamente carica.Questa fu la prima teoria di gauge della storia.

Durante glianni cinquanta,tentando di mettere ordine nel gran caos di fenomeni ancora non spiegati dellafisica delle particelle elementari,Chen Ning YangeRobert Millsintrodussero teorie di gaugenon-abelianecome modelli per comprendere l'interazione forte che tiene uniti inucleonineinucleo atomico.Generalizzando l'invarianza di gauge dell'elettromagnetismo, essi cercarono di costruire una teoria, basata sull'azione del gruppo di simmetria non-abelianoSU(2)sul doppietto diisospinformato daprotonieneutroni,che fosse simile alla teoria di Weyl, Fock e London sull'azione delgruppo U(1)sui campispinorialidell'elettrodinamica quantistica.Questa idea trovò applicazione, più tardi, nella teoria di campo dell'interazione debole e nell'unificazione di tale teoria con l'elettromagnetismo nellateoria elettrodebole.

L'interesse per le teorie di gauge divenne anche maggiore quando venne dimostrato che le loro versioni non-abeliane possedevano una proprietà dettalibertà asintotica,che si supponeva essere una caratteristica fondamentale dell'interazione forte. Questo fatto diede l'avvio alle ricerche di una teoria di gauge per quest'ultima interazione, che portarono alla formulazione dellacromodinamica quantistica;questa è una teoria di gauge per l'azione del gruppoSU(3)sulle terne dicoloredeiquark.Il Modello standard unifica le descrizioni dell'elettromagnetismo,delle interazioni deboli e delle interazioni forti nel formalismo delle teorie di gauge.

Nel1983Simon Donaldsonusò strumenti sviluppati nella teoria di gauge (gliistantoni) per dimostrare che la classificazione differenziabile dellevarietàquadrimensionalilisceè molto diversa dalla loro classificazione a meno diomeomorfismie mostrastrutture differenziabiliesotiche in unospazio euclideoa quattro dimensioni. Questo ha portato imatematiciad interessarsi per loro conto alle teorie di gauge, indipendentemente dal loro successo infisica teorica.Nel1994Edward WitteneNathan Seiberghanno messo a punto alcune tecniche per le teorie di gauge basate sullasupersimmetria,che ha permesso il calcolo di alcuni invariantitopologici;questi contributi allamatematicaprovenienti dalle teorie di gauge hanno portato ad un rinnovato interesse per gli studi in quest'area.

Formalismo matematico

Matematicamente, ungaugeè un certo grado di libertà all'interno di una teoria i cui effetti esterni non sono osservabili. Unatrasformazione di gaugeè quindi una trasformazione di questo grado di libertà che non modifica nessunaproprietà fisicaosservabile. Le teorie di gauge sono di solito elaborate e discusse con gli strumenti matematici dellageometria differenziale.Più precisamente, unascelta di gaugeè la scelta di una sezione (locale) di un certofibrato principale.Unatrasformazione di gaugeè inoltre una trasformazione tra due diverse sezioni.

Preso unfibrato principale$P$il cuispazio baseè lospaziotridimensionale o lospaziotempoe il suogruppo strutturaleè ungruppo di Lie,allora è definita un'azionedel gruppo di gauge sullo spazio dellesezioni liscedi$P$.

È possibile definire una connessione (connessione di gauge) sul fibrato principale, ottenendo una1-forma$A$con valori su un'algebra di Lie,che in fisica è dettapotenziale di gauge.Con questa 1-forma si può costruire una2-forma$F$,chiamata forza di campo (field strength), con:

$\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

dove$d$sta per laderivata esternae$\wedge$sta per ilprodotto esterno.

Le trasformazioni di gauge infinitesimali formano un'algebra di Lieche è caratterizzata da uno scalare (0-forma) continuo$\varepsilon$a valori compresi in un'algebra di Lie. Sotto queste trasformazioni di gaugeinfinitesimali:

$\delta _{\varepsilon }\mathbf {A}:=[\varepsilon,\mathbf {A} ]-d\varepsilon$

dove$[.,.]$denota ilprodotto di Lie.

Un fatto pregevole consiste nel fatto che$\delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X$implichi che$\delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX$,dove$D$è laderivata covariante:

$DX:=dX+\mathbf {A} X~$

Inoltre,$\delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =\varepsilon \mathbf {F}$,e questo significa che$\mathbf {F}$si trasforma in modo covariante.

Occorre fare attenzione che, in generale, non tutte le trasformazioni di gauge possono essere generate da trasformazioni di gauge infinitesimali: per esempio quando lavarietà baseè unavarietàcompattasenzafrontieratale che la classe diomotopiadelle applicazioni di quella varietà sul gruppo di Lie è non banale. Si veda, per esempio, gliistantoni.

L'azione di Yang-Millsè data ora da:

${\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} (*F\wedge F)$

dove * sta per l'operatore di Hodgee l'integrale è definito come nellageometria differenziale.

Una quantitàgauge-invariante,cioè invariante sotto le trasformazioni di gauge, è unalinea di Wilson,che è definita su un qualunque cammino chiuso$\gamma$in questo modo:

$\chi ^{(\rho )}({\mathcal {P}}\{e^{\int _{\gamma }A}\})$

dove$\chi$è il carattere di una rappresentazione complessa$\rho$,e${\mathcal {P}}$rappresenta l'operatore di cammino ordinato.

Teoria di gauge classica

Nel seguito si mostrano alcuni aspetti della teoria classica, definendo i concetti di gruppo di gauge, campo di gauge,lagrangianadi interazione e bosone di gauge.

Teoria di gauge scalare O(n)

Quanto segue mostra come l'invarianza di gauge locale viene postulata a partire da proprietà di simmetria globale, e come questo porta a un'interazione fra campi che in origine non interagiscono.

Si prenda un insieme dincampiscalarinon interagenti, con massemuguali. Questo sistema è descritto da un'azionepari alla somma delle normali azioni per i diversi campi scalari$\phi _{i}$:

${\mathcal {S}}=\int \,d^{n}x{\Biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\partial _{\mu }\phi _{i}\partial ^{\mu }\phi _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m^{2}\phi _{i}^{2}{\Biggr )}$

Introducendo unvettoredi campi:

$\ \Phi =(\phi _{1},\phi _{2},\ldots,\phi _{n})$

la lagrangiana si può riscrivere così:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi$

Ora è evidente che, quando$G$è unamatricecostanteche appartiene algruppo ortogonalen-dimensionale$O(n)$,la lagrangiana è invariante sotto la trasformazione:

$\Phi \mapsto G\Phi$

Questa è la simmetria globale di questa particolare lagrangiana, e il gruppo di simmetria è chiamato spesso ilgruppo di gauge.Si noti per inciso che ilteorema di Noetherimplica che l'invarianza rispetto a questo particolare gruppo di trasformazioni porti alla conservazione dellacorrente:

$\ J_{\mu i}^{a}=\sum _{j}T_{ij}^{a}\partial _{\mu }\phi _{j}$

dove le matrici$T^{a}$sono igeneratoridel gruppo$O(n)$.C'è una corrente conservata per ogni generatore.

Ora, si postuli che questa lagrangiana debba avere un'invarianza$O(n)$locale: questo implica che le matrici$G$,che in precedenza avevamo visto essere costanti) dovrebbero poter diventare funzioni dellecoordinatespaziotemporali$x$.

Purtroppo le matrici$G$non "passano attraverso la derivazione", cioè quando$G=G(x)$si ha:

$\ \partial _{\mu }(G\Phi )^{T}\partial ^{\mu }G\Phi \neq \partial _{\mu }\Phi ^{T}\partial ^{\mu }\Phi$

Questo suggerisce di definire unaderivata$D$tale che:

$\ D_{\mu }(G(x)\Phi (x))=G(x)\partial _{\mu }\Phi$

Si può facilmente verificare che unaderivatacon questa proprietà (detta derivatacovariante) è:

$\ D_{\mu }=\partial _{\mu }-(\partial _{\mu }G(x))G^{-1}(x)=\partial _{\mu }+gA_{\mu }(x)$

dove ilcampo di gauge$A(x)$è definito come:

$\ A_{\mu }(x):={\frac {1}{g}}G(x)\partial _{\mu }G^{-1}(x)=\sum _{a}A_{\mu }^{a}(x)T^{a}$

e$g$è noto come lacarica,una costante di accoppiamento che definisce la forza di un'interazione.

A questo punto si è individuata una lagrangianalocalmente gauge-invariante:

${\mathcal {L}}_{loc}={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{T}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi$

La differenza fra questa e la lagrangiana originale, che invece eraglobalmente gauge-invariante,viene chiamatalagrangiana di interazione:

${\mathcal {L}}_{int}={\frac {g}{2}}(\Phi ^{T}A_{\mu }^{T}\partial ^{\mu }\Phi +(\partial _{\mu }\Phi )^{T}A^{\mu }\Phi )+{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{T}(A^{\mu }\Phi )$

Questo termine introduceinterazionifra glincampi scalari come risultato dell'imposizione dell'invarianza di gauge locale. Nella versione quantizzata di questateoria di campo classica,iquantidel campo di gauge$A(x)$sono chiamatibosoni di gauge.L'interpretazione della lagrangiana di interazione nella teoria di campo quantistica concernebosoniscalari che interagiscono scambiandosi i bosoni di gauge.

La lagrangiana per il campo di gauge

Il quadro della teoria di gauge classica è quasi completo: manca solo di conoscere il valore del campo di gauge$A(x)$in ogni punto dello spazio-tempo, come richiesto dalla definizione delle derivate covarianti$D$.Invece di specificare il valore del campo in ogni punto manualmente, cioè assegnando valori in tutti i punti, si può esprimerlo come la soluzione di un'equazionedi campo: ponendo inoltre l'ulteriore requisito che anche la lagrangiana che genera l'equazione di campo sia localmente gauge-invariante, la forma più generale della lagrangiana per il campo di gauge si può scrivere convenzionalmente come:

${\mathcal {L}}_{gf}=-{\frac {1}{4g^{2}}}\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })$

con

$\ F_{\mu \nu }:=[D_{\mu },D_{\nu }]$

e prendendo latracciasullospazio vettorialedeglincampi.

A questo punto la lagrangiana completa per la teoria di gauge$O(n)$si può scrivere:

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{loc}+{\mathcal {L}}_{gf}={\mathcal {L}}_{global}+{\mathcal {L}}_{int}+{\mathcal {L}}_{gf}$

Elettrodinamica

Come applicazione semplice del formalismo sviluppato finora, si consideri il caso dell'elettrodinamica,con il solo campo dell'elettrone.In definitiva, l'azione che genera l'equazione di Diracdel campo dell'elettrone è, per convenzione:

${\mathcal {S}}=\int d^{4}x\,{\bar {\psi }}(i\gamma _{\mu }\partial ^{\mu }-m)\psi$

La simmetria globale di questo sistema è:

$\ \psi \mapsto e^{i\theta }\psi$

Qui il gruppo di gauge èU(1),cioè il gruppo ad un solo parametro corrispondente al soloangolo di fasedel campo, con$\theta$costante nello spazio.

Localizzare questa simmetria implica la sostituzione della costante$\theta$con$\theta (x)$.

Una derivata covariante appropriata è allora:

$\ D_{\mu }:=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }$

Identificando la carica$e$con l'usualecarica elettrica(questa è l'origine dell'uso del termine "carica" nelle teorie di gauge), e il campo di gauge$A(x)$con ilpotenziale quadrivettoredelcampo elettromagnetico,si ottiene una lagrangiana di interazione:

${\mathcal {L}}_{int}:={\bar {\psi }}(x)\gamma _{\mu }\psi (x)A^{\mu }(x)=J_{\mu }(x)A^{\mu }(x)$

dove$J^{\mu }(x)$è l'usualequadricorrente.Quindi il principio di gauge ha l'effetto di introdurre in modo naturale il cosiddettoaccoppiamento minimodel campo elettromagnetico con il campo dell'elettrone.

Aggiungendo una lagrangiana per il campo di gauge$A(x)$costruita con iltensore di forza del campo,esattamente come nell'elettrodinamica, si ottiene la lagrangiana che si usa come punto di partenza nell'elettrodinamica quantistica:

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma _{\mu }D^{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

Bibliografia

• Walter Greiner e Berndt Müller,Gauge Theory of Weak Interactions,Springer, 2000,ISBN3-540-67672-4.
• P. Frampton,Gauge Field Theories,3rd, Wiley-VCH, 2008.
• G.L. Kane,Modern Elementary Particle Physics,Perseus Books, 1987,ISBN0-201-11749-5.
• George Svetlichny,Preparation for Gauge Theory,un'introduzione agli aspetti matematici
• David Gross,Gauge theory - Past, Present and Future,note da una conferenza
• Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li,Gauge Theory of Elementary Particle Physics,Oxford University Press, 1983,ISBN 0-19-851961-3

Voci correlate

• Gruppo di gauge
• Simmetria di gauge
• Metodo del campo di background
• Teoria di Yang-Mills
• Teorema di Noether
• Teoria di gauge supersimmetrica
• Teoria di gauge su reticolo

Collegamenti esterni

• (EN)gauge theory,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.