Arcotangente
In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo [1]
Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è . È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.
Notazione
[modifica | modifica wikitesto]La notazione matematica dell'arcotangente è o ; è comune anche la scrittura . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN
e ATN
.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Arctan.svg/220px-Arctan.svg.png)
- L'arcotangente è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali:[2]
- La sua immagine è l'intervallo:
- Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:
- La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:
- È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):
ed è di classe cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:[3]
La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:[4]
è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se
È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:
nelle quali
Si ha inoltre che, per :
Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza e . L'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:
e quindi si giunge a:
Applicazioni
[modifica | modifica wikitesto]- In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente[5].
- Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco. Queste formule sono conosciute come formule di tipo Machin.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.187
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp.188-189
- ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
- ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
- ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp. 376-377
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'arcotangente
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- arcotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- arctàn, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- arcotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- arcotangènte, su sapere.it, De Agostini.
- arcotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, inverse tangent, su MathWorld, Wolfram Research.