Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali In algebra , il teorema binomiale (o anche formula di Newton , binomio di Newton e sviluppo binomiale ) esprime lo sviluppo della potenza
n
{\displaystyle n}
binomio qualsiasi mediante la formula[ 1]
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
in cui il fattore
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
coefficiente binomiale ed è sostituibile con
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
triangolo di Tartaglia .[ 2]
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi , ma più in generale vale in ogni anello commutativo .
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a
n
=
2
{\displaystyle n=2}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
.
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}
Nel caso in cui
n
{\displaystyle n}
serie infinita . Questa formula generalizzata, nel caso di
n
{\displaystyle n}
Isaac Newton (da cui il nome).
«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo , peccato che pochi se ne accorgano.»
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
(
a
+
b
)
n
=
(
n
0
)
a
n
b
0
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
1
+
(
n
2
)
a
n
−
2
b
2
+
(
n
3
)
a
n
−
3
b
3
+
⋯
⋯
+
(
n
n
−
1
)
a
1
b
n
−
1
+
(
n
n
)
a
0
b
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}}
dove
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
coefficienti binomiali . Utilizzando la notazione di sommatoria , la stessa formula può essere scritta:
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
.
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.}
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo
1
{\displaystyle 1}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
variabile . In questa forma, si ha:
(
1
+
a
)
n
=
(
n
0
)
a
0
+
(
n
1
)
a
1
+
(
n
2
)
a
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
a
n
−
1
+
(
n
n
)
a
n
,
{\displaystyle (1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},}
o, in maniera equivalente,
(
1
+
a
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
.
{\displaystyle (1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.}
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione . Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
(
a
+
b
)
1
=
∑
k
=
0
1
(
1
k
)
a
(
1
−
k
)
b
k
=
a
+
b
{\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b}
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente
n
{\displaystyle n}
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
(
n
−
k
)
b
k
,
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k},}
si ha
(
a
+
b
)
n
+
1
{\displaystyle (a+b)^{n+1}}
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle =(a+b)(a+b)^{n}}
=
(
a
+
b
)
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle =(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
e moltiplicando la sommatoria per
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
+
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
1
,
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1},}
da cui
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
+
1
)
a
n
+
1
−
(
k
+
1
)
b
k
+
1
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
+
1
)
a
n
−
k
b
k
+
1
.
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}.}
Inoltre
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
1
{\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
1
+
(
n
n
)
b
n
+
1
.
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}.}
Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
k
+
1
)
+
(
n
k
)
{\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}
si ha che
(
a
+
b
)
n
+
1
{\displaystyle (a+b)^{n+1}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
)
a
n
−
k
b
k
+
1
+
(
n
n
)
b
n
+
1
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
+
1
k
+
1
)
a
n
−
k
b
k
+
1
+
(
n
n
)
b
n
+
1
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}
=
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
+
(
n
n
)
b
n
+
1
.
{\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}.}
Poiché infine
(
n
0
)
=
(
n
+
1
0
)
=
1
{\displaystyle {n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1}
e
(
n
n
)
=
(
n
+
1
n
+
1
)
=
1
,
{\displaystyle \ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1,}
si ha che
(
n
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
+
(
n
n
)
b
n
+
1
=
(
n
+
1
0
)
a
n
+
1
+
∑
k
=
1
n
(
n
+
1
k
)
a
n
+
1
−
k
b
k
+
(
n
+
1
n
+
1
)
b
n
+
1
{\displaystyle {n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}}
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
(
a
+
b
)
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
+
1
(
n
+
1
k
)
a
(
n
+
1
)
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}}
che conferma la tesi.
Se scriviamo
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle (a+b)^{n}}
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
…
{\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots }
con
n
{\displaystyle n}
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle a^{n-k}b^{k}}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
a
{\displaystyle a}
k
{\displaystyle k}
b
{\displaystyle b}
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di
k
{\displaystyle k}
0
{\displaystyle 0}
n
{\displaystyle n}
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per
n
{\displaystyle n}
numero naturale . È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per
(
1
+
x
)
α
,
α
∈
R
{\displaystyle (1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R} }
intorno destro dello 0 con una serie di Taylor .
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
o
(
x
)
,
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),}
o
(
x
)
{\displaystyle o(x)}
infinitesimo di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
x
2
+
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
6
x
3
+
⋯
+
(
α
k
)
x
k
+
o
(
x
k
)
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})}
dove
(
α
k
)
{\displaystyle {\alpha \choose k}}
(
α
k
)
=
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
k
+
1
)
k
!
{\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}}
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione
(
1
+
x
)
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }}
(
1
+
x
)
α
=
(
1
+
x
)
x
=
0
α
+
(
(
1
+
x
)
α
)
x
=
0
′
1
!
x
+
(
(
1
+
x
)
α
)
x
=
0
′
′
2
!
x
2
+
⋯
+
(
(
1
+
x
)
α
)
x
=
0
(
k
)
k
!
x
k
+
…
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots }
e, poiché
(
(
1
+
x
)
α
)
x
=
0
′
=
α
(
1
+
x
)
x
=
0
α
−
1
=
α
{\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha }
⋮
⋮
{\displaystyle \vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots }
(
(
1
+
x
)
α
)
x
=
0
(
i
)
=
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
i
+
1
)
(
1
+
x
)
x
=
0
α
−
i
=
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
i
+
1
)
{\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)}
si ottiene
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
+
α
(
α
−
1
)
…
(
α
−
k
+
1
)
k
!
x
k
+
…
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots }
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al
k
{\displaystyle k}
o
(
x
k
)
{\displaystyle o(x^{k})}
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