Avvezione

Infisica,in particolare nello studio deifenomeni di trasporto,il termineavvezioneidentifica iltrasportodi una quantità o proprietàfisicada parte di unfluidoa causa del suo moto di massa (bulk motion). Ogniquantità conservataed estensiva può essere trasportata da un fluido in grado di contenerla. Il moto del fluido è solitamente descritto matematicamente da uncampo vettoriale,come un campo divelocità,mentre la quantità trasportata con uncampo scalareche mostra la sua distribuzione nello spazio.

Il termineavvezioneindica il fenomeno del trasporto di una quantità causato da un movimentoapertodella corrente, mentre il termineconvezioneindica lo stesso fenomeno causato da un movimento ciclico del fluido. Per esempio, riferendosi all'acqua, si parla di avvezione quando il vento asciuga i panni appesi; si parla invece di convezione quando un vento ascensionale assorbe acqua dal mare, ascende, la rilascia nell'alta atmosfera e discende sul mare.

La differenza tra i due fenomeni è solamente una questione di scala dimensionale, per cui è corretto pensare che laquantità di motoè "avvetta" dal campo di velocità nelleequazioni di Navier-Stokesanche se il moto risultante possa essere una convezione.

Descrizione matematica

L'avvezione è matematicamente descritta tramite l'equazione di avvezione, un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolicache caratterizza il moto di una quantità scalare conservata che viene trasportata da uncampo vettorialenoto. Esso esce fuori in modo naturale con laderivata materialedi un campo euleriano.

La descrizione euleriana di una grandezza è il campo spaziotemporale che associa quella grandezza ad ogni punto ed istante del domìnio considerato:${\textstyle f_{(x,t)}}$.

Ora, questa descrizione si distingue da quella lagrangiana perché non associa le grandezze alle particelle che le hanno, bensì alla posizione di queste particelle. Pertanto, la derivata temporale esplicita,${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}f_{(x,t)}}$,non descrive la variazione di${\textstyle f}$per le particelle in${\textstyle (x,t)}$,bensì appunto la variazione del campo. Se si vuole trovare la derivata temporale per la particella, che è quella interessata dalle leggi di conservazione, si deve considerare che la particella intanto si sposta con velocità${\vec {u}}_{(x,t)}$e dunque si deve sviluppare laderivata totale,in questo contesto chiamata anche "derivata materiale":

${\textstyle {\frac {D}{Dt}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f_{(x,t)}+{\vec {u}}\cdot \nabla _{\vec {x}}f_{(x,t)}}$

Derivata materiale = derivata esplicita + avvezione.

Operatore di avvezione

In coordinate cartesiane, l'operatore di avvezione è dato da:

$\mathbf {u} \cdot \nabla =u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$

dove$\mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})$è ilcampo vettorialedivelocitàe$\nabla$è l'operatore nabla.

Operatore di avvezione ed equazione di continuità

L'equazione di avvezione per unaquantità conservatadescritta dalcampo scalare$\psi$è espressa dall'equazione di continuità:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0$

dove$\nabla \cdot$è ladivergenza.Spesso si assume che il fluido sia incomprimibile, ovvero il campo di velocità soddisfa:

$\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0$

e viene allora dettocampo vettoriale solenoidale.In tal caso la precedente equazione può essere scritta come:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0$

e se ilflussoè stazionario:

${\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0$

che mostra che$\psi$è costante lungo lelinee di flusso:si ha infatti$\partial \psi /\partial t=0$,ovvero$\psi$non varia nel tempo.

Se invece di un campo scalare si considera una quantità vettoriale$\mathbf {a}$che subisce l'avvezione da parte di un campo solenoidale$\mathbf {u}$,allora l'equazione di avvezione diventa:

${\frac {\partial {\mathbf {a} }}{\partial t}}+\left({\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {a} }=0$

Soluzione

L'equazione di avvezione non è di semplice soluzione con metodi dianalisi numerica,a causa soprattutto dellediscontinuitàpresenti nelle soluzioni. Nel caso più semplice, dove si considera uno spazio in una dimensione e un campo di velocità costante, l'equazione assume la forma:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0$

dove$\psi =\psi (x,t)$è il campo trasportato e$u_{x}$è una componente di$\mathbf {u} =(u_{x},0,0)$.

Se si utilizza laforma antisimmetricadell'operatore di avvezione:

${\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })$

dove:

$\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })=[\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]$

è possibile facilitare l'applicazione di simulazioni numeriche.Utilizzando le identità del calcolo vettoriale, inoltre, si mostra che la versione antisimmetrica può essere scritta in diversi modi:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}$

${\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {u} \mathbf {u} )=\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {u} )$

disponibili nei pacchetti software dedicati. L'operatore antisimmetrico introduce tuttavia errori quando il campo di velocità diverge. La soluzione con metodi di analisi numerica rappresenta una notevole sfida per i matematici, ed esiste un'ampia letteratura al riguardo.

Applicazioni

Meteorologia

Inmeteorologiacon il termine avvezione si indica il sopraggiungere su una porzione di territorio di unamassa d'ariacon caratteristiche fisico-atmosferiche differenti dalla precedente, generalmente in termini ditemperaturaeumidità.Solitamente a un'avvezione si associa un sensibile rimescolamento, moti d'aria orizzontali atmosferici ed un cambiamento dei parametri atmosferici suddetti.

Le avvezioni possono essere calde o fredde, umide o secche e avvenire in ogni stagione. Si tratta di un effetto ascala sinotticadellacircolazione atmosferica— nonché una manifestazione tipica dellavariabilità meteorologica— che avviene in corrispondenza di particolari disposizioni bariche. Ad esempio unasaccaturaè portatrice di un'avvezione fredda, preceduta nella parte anteriore da un'avvezione calda, secondo la dinamica e le caratteristiche delleonde di Rossby.

Bibliografia

• (EN) John P. Boyd,Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition,Dover, 2000.

Voci correlate

• Convezione
• Diffusione di materia
• Equazione di continuità
• Equazione del trasporto
• Legge di conservazione
• Ondata di caldo
• Ondata di freddo

Collegamenti esterni

• (EN)advection,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.

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