Per il calcolo si studia l'urto tra la particella e unelettronedel mezzo. L'elettrone si suppone in quiete rispetto alla particella e si valuta la sua variazione di energia dopo l'urto () in funzione del parametro di impatto.Si considera perciò il problema a simmetria cilindrica.
La perdita di energia per l'impatto con l'elettrone è
Considero però che la particella sta attraversando un mezzo materiale e sialadensitàdi elettroni in esso. La perdita infinitesima di energia si può valutare come:
quindi:
A questo punto basta integrare sui possibili valori del parametro di impatto per calcolare la perdita di energia media per ionizzazione di un mezzo materiale. Il problema è che imporre limiti di integrazioneenon ha senso perché perl'espressione diverge, mentre persi perde il carattere impulsivo dell'urto, che è alla base del calcolo. Bisogna perciò introdurre due validi limiti di integrazionee.
Il limite di integrazione inferiore si può stimare considerando che la massima energia viene trasferita in un urto centrale e che questa è pari a
dove si è considerato il limite relativistico:.
Allora
Per stimareconsidero che gli elettroni sono legati agliatomie posso semplicisticamente considerarli in rotazione con frequenzaintorno al nucleo. Perché ci sia perdita di energia devo supporre che durante tutto il passaggio della particella l'elettrone si muova in una regione molto limitata della sua orbita, in modo che il nucleo non ne schermi mai l'interazione con la nostra particella. Perciò impongo che iltempo d'urtosia
essendo;per gli effetti relativistici ho
dove ho utilizzato la frequenza media per considerare tutti gli elettroni atomici.
Si potrebbe obiettare che perl'energia trasferita non sia trascurabile, perciò studio il problema con maggior dettaglio: dettol'asse di moto della particella el'asse con cui valuto la distanza dell'elettrone dall'asse,posso considerare il moto dell'elettrone descritto daper cui
Se considero chee cheè l'angolo con cui l'elettrone vede la particella ho:
Calcolo l'integrale: siae.L'integrale diviene:
per cui, siccome,
Se faccio il limite perottengo,per cui va bene considerare i contributi per i soli
La formula di Bohr per il calcolo della perdita di energia nella materia da parte di una particella carica di massaè allora:
Questa formula funziona bene per particelle massive come leparticella αe nuclei pesanti, mentre non descrive bene le interazioni diprotonia causa degli effettiquantistici.Per una stima più precisa della perdita di energia per ionizzazione di un mezzo da parte di una particella carica bisogna ricorrere allaformula di Bethe.
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